Dominios De Factorizacion Unica

Dominios de Ideales Principales (DIP).

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Definición: Decimos que un dominio entro $R$ es Euclidiano o dominio Euclidiano si existe una función $\lambda: R\setminus \left\{ 0 \right\} \to \mathbb{Z}_{\ge 0}$ tal que is $a,b \in R$ y $b\ne 0$ existen elementos $c,d\in R$ con la propiedad de que $a=cb+d$ con ya sea $d=0$ o $\lambda(d) < \lambda(b)$.

Ejemplo:

  1. Los enteros $\mathbb{Z}$ son un dominio Euclidiano (con la función valor absoluto).
  2. El anillo de polinomios sobre un campo (con la función de grado).

Proposición: Si $R$ es un dominio Euclidiano y si $I\subset R$ es un ideal, entonces existe $a\in R$ tal que $I= (a) = aR$.

Definición: Un dominio $R$ se llama Dominio de ideales principales (DIP) si cada ideal de $R$ es principal.

Así entonces tenemos que todo dominio Euclidiano es de ideales principales.

Recordemos que un elemento $d\in R$ es el máximo común divisor de $a,b \in R$ si $d\mid a, d\mid b$ y si $d'$ es otro divisor común de $a,b$, entonces $d\mid d'$.

Proposición: Si $R$ es un DIP, entonces cualesquiera dos elementos en $R$ tienen un máximo común divisor. De hecho $d$ es un generador de $(a,b)$.

Ejemplo: Encuentra el máximo común divisor de $x^3+1, x^2+1$ en $\mathbb{Q}[x]$.

Notar que cualesquiera dos generadores de un ideal principal son asociados. Así que el máximo común divisor es único salvo asociados.

Corolario: En todo DIP los elementos primos y los elementos irreducibles coinciden.

Nota: A partir de ahora en esta sección tomaremos a $R$ como un DIP. Así que en particular todo irreducible es primo y viceversa.

Queremos demostrar que todo elemento no nulo de $R$ es producto de irreducibles.

Lema: $R$ es Noetheriano, es decir, toda cadena ascendente de ideales $I_1\subset I_2\subset \ldots$ es estacionaria (existe $k>0$ tal que $I_k = I_n$ para $n>k$.

Lema: Todo elemento no nulo $a\in R$ que no es unidad tiene un divisor irreducible.

Proposición: Todo elemento no nulo que no es unidad en $R$ es producto de irreducibles.

Proposición: Para todo elemento primo $p\in R$ sea $P$ el ideal generado por $p$, es decir $P= (p)$. Para todo $a\in R$ no cero, existe un entero $n=n(a)$ tal que $a\in P^n$ pero $a \notin P^{n+1}$. Este entero es únicamente determinado por $p,a$ por lo que lo llamamos el orden de $p$ en $a$ y lo denotamos de la manera usual $n= ord_p(a) = ord_P(a)$.

Proposición: Si $a,b\in R$ con $a,b \ne 0$ entonces $ord_p(ab) = ord_p(a) + ord_p(b)$.

Ahora sí, ya podemos probar el resultado principal que es el siguiente:

Sea $S\subset Spec(R)$ tal que:

  1. Todo primo en $R$ es asociado a un primo en $S$.
  2. No dos primos en e $S$ son asociados.

Recordemos que el ser asociado es una relación de equivalencia. Así el conjunto $S$ está formado por representantes de las clases de equivalencia de elementos en $Spec(R)$. Por ejemplo
en $Z$, $S$ se puede tomar como el conjunto de primos positivos y en $K[x]$ con $K$ un campo, podemos tomar a $S$ como el conjunto de polinomios mónicos irreducibles. En general no hay una elección canónica.

Teorema: Sea $R$ un DIP y sea $S$ un conjunto de primos que satisfacen las condiciones del párrafo anterior. Entonces si $a\in R$ no es cero, tenemos que podemos escribir:

(1)
\begin{align} a = u\prod_{p\in S}p^{ord_p(a)}; \quad u\in R^* \end{align}

donde la unidad $u$ y y los exponentes son únicamente determinados.

Ejemplo:

  1. $\mathbb{Z}[i]$ es Euclidiano con la norma definida por $\lambda(a+bi)=a^2+b^2$, en particular es DIP y tiene factorización única. En efecto. Para $\alpha,\beta\in \mathbb{Z}[i]$, querremos demostrar que existen enteros Gaussianos $\gamma, \rho$ tal que $\alpha = \beta\gamma+\rho$ con $\lambda(\rho) < \lambda(\beta)$ (notemos que en este caso $\lambda(\phi)=0$ si, y sólo si $\rho=0$). Si $\beta=0$ entonces es claro que $\rho= \alpha$ hace el trabajo, por lo que supondremos que $\beta\ne 0$. Notemos que si dividimos por $\beta$ entonces estamos buscando un $\gamma \in \mathbb{Z}[i]$ tal que $\lambda(\alpha/\beta-\gamma) <1$; es decir, basta encontrar un $\gamma \in \mathbb{Z}[i]$ con esta propiedad para concluir el resultado tomando simplemente a $\rho= \alpha=\gamma\beta$. Dado que los enteros Gaussianos forman un retículo en $\mathbb{C}$, tenemos que el número complejo $\alpha/\beta$ está dentro de un cuadrado del retículo, y por lo tanto la distancia a alguno de los puntos en el cuadrado del retículo es menor que la mitad de la longitud de la diagonal, es decir, existe $\gamma\in \mathbb{Z}[i]$ tal que $|\alpha/\beta-\gamma| < \frac12\sqrt2 < 1$. Pero como $\lambda(x) = |x|^2$ teneos que $\lambda(\alpha/\beta-\gamma)<1$ que era lo que necesitábamos.
  2. $\mathbb{Z}[\omega]$ el anillo de enteros de Einsestain es Euclidiano. Con $\lambda(a+b \omega)= a^2-ab+b^2$.

Teorema: Para todo número primo $p\ne 2$ tenemos que:

(2)
\begin{align} p = a^2+b^2, \quad (a,b \in \mathbb{Z})\quad \iff\quad p\equiv 1 \pmod 4 \end{align}

Demostración: Ahora que contamos con los enteros Gaussianos podemos usarlos. Lo que nos dice este teorema en el lenguaje de los enteros Gaussianos es que el primo $p$ se descomone como $p=(x+iy)(x-iy) \in \mathbb{Z}[i]$ si, y sólo si $p = 4k+1$ para algún entero $k$. Es decir, el problema es un problema de factorización en $\mathbb{Z}[i]$.

Lema: Si un primo $p\in \mathbb{Z}$ es de la forma $p=4k+1$ entonces $p$ no es irreducible en $\mathbb{Z}[i]$.

Demostración: De hecho demostraremos que un primo entero de esta forma no es primo Gaussiano, para esto veremos que $p\mid (x-i)(x+i)$ pero $p$ no dividir a ninguno de estos factores. Sea pues $p=4k+1$ para algún entero $k$. Por el teorema de Wilson, sabemos que la ecuación $x \equiv -1 \pmod p$ tiene solución, en efecto $x= (2k)!$ es solución1. Tenemos entonces que $p\mid x^2+1 =(x-i)(x+i)$ sin embargo $p\not\mid (x+i)$ en $\mathbb{Z}[i]$ pues de lo contrario existiría $r+si \in \mathbb{Z}[i]$ tal que $p(r+si)= x+i$ pero entonces $pr =x$ y $ps =1$, entonces $p\mid 1$ lo cual es imposible. $\blacksquare$

Teorema: Si $p=4k+1$ entonces $p=a^2+b^2$ para algunos enteros $a,b$.
Demostración: Por el lema anterior tenemos entones que $p$ es reducible en $\mathbb{Z}[i]$ por lo que entonces existen Gaussianos no unidades tal que $p=\alpha\beta$. Al tomar normas tenemos que $p^2 = N(\alpha)N(\beta)$. Como $\alpha,\beta$ no son unidades, sus normas son mayores que $1$ y por la factorization única en $\mathbb{Z}[i]$ debemos tener entonces que $p=N(\alpha) = a^2+b^2$ en donde $\alpha= a+bi$. $\blacksquare$

Recordemos que las unidades en $\mathbb{Z}[i]$ son $\pm 1, \pm i$. Ahora determinemos a sus elementos primos.

Teorema: Los elementos primos (irreducibles) salvo asociados de $\mathbb{Z}[i]$ son:

  1. $\pi = 1+i$
  2. $\pi= a+bi$ con $a^2+b^2 = p$ con $p \equiv 1 \pmod 4$
  3. $\pi=p$ con $p \equiv 3 \pmod 4$

En todos los casos $p$ es un entero primo.

En efecto, si $p=\alpha\beta$ con $\alpha,\beta$ no unidades, entonces al tomar norma $p^2 = N(\alpha)N(\beta)$, esto implica, por ser $\mathbb{Z}[i]$ DFU que $p=N(\alpha) = a^2+b^2$

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