El Discriminante

Sea $A$ un anillo y sea $B$ una $A$-álgebra libre como $A$-módulo y de rango finito. Por ejemplo, si $B,A$ son campos, entonces $B$ una extensión de campos de $A$.

Definición:
Sean $x=(x_1, x_2, \ldots, x_n$)]] un sistema de elementos en [[$B^n$. El discriminante de estos elementos $D(x)=D(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ es el elemento de $A$ obtenido por la fórmula:

(1)
\begin{align} D(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \mathop{det}(\operatorname{Tr}_{B/A}(x_ix_j)). \end{align}

Proposición: Si $y= (y_1, y_2, \ldots, y_n)$ está en $B^n$ es un sistema de elementos de $B$ tal que $y_i = \sum_{j=1}^na_{ij}x_j$, es decir, si $y=Ax$ con $A=(a_{ij})$ y $a_{ij}\in A$. Entonces:

(2)
\begin{equation} D(y) = |A|^2D(x). \end{equation}

Demostración:
Tenemos que para $r,s\in B$ el operador $<r,s>:= \operatorname{Tr}_{B\A}(rs)$ es bilineal (ejercicio). Por lo que
$\blacksquare$

Si no se indica lo contrario, el contenido de esta página se ofrece bajo Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License