Elementos Conjugados Y Campos Conjugados

Definición:
Sean $L, L'$ dos extensiones de campos de $K$. Un homomorfismo de campos $\phi:L\to L'$ es llamado $K$-homomorfismo, si $\phi(x)=x$ para todo $x\in K$. Un $K$-homomorfismo es $K$-isomorfismo si $\phi$ es ademeas un isomorfismo de campos.

Definición:
Decimos que dos extensiones de $K$ son conjugadas, si $L, L'$ extensiones algebraicas de $K$ tal que son $K$-isomorfas.

Definición:
Sean $L,L'$ extensiones de $K$ y sean $x\in L$ y $x'\in L'$. Decimos que $x$ y $x'$ son $K$-conjugados si los campos $K(x)$ y $K(x')$ son $K$-conjugados.

Ejercicio: Si $x,x'$ son $K$-conjugados, entonces $\phi:K(x)\to K(x')$ tal que $\phi(x)=x'$ es única y $x,x'$ tiene el mismo polinomio mínimo, es decir, ambos son raíces del mismo polinomio irreducible sobre $K$.

Teorema: Sea $K$ un campo de característica cero o finito. Sea $K'$ una extension de grado finito $n$ de $K$ y sea $C$ un campo algebraicamente cerrado que contiene a $K$. Entonces existen exactamente $n$ $K$-isomorfismos distintos de $K'$ en $C$.

Demostración:
Sabemos que toda extensión finita de un campo de característica cero o finito es simple, entonces $K'=K(\theta)$ para algún $\theta\in K'$. Consideremos el polinomio mínimo $p(x)\in K[x]$ de $\theta$. si $\phi: K(\theta)\to C$ es un $K$-homomorfismo no nulo (entonces necesariamente inyectivo) tenemos que $K(\theta)$ es $K$-isomorfo a su imagen $\phi(K(\theta))= K(\phi(\theta))$ Notemos que $\phi(\theta)$ es también una raíz de $p(x)$ pues $p\in K[x]$] y [[$\phi$ fija a los elementos de $K$. Entonces tenemos que hay cuando mucho $n$ distintos $K$-isomorfimos de $K$. Como $p(x)$ tiene exactamente $n$-raíces distintas en $C$, digamos $\theta_1, \theta_2, \ldots, \theta_n$ con $\theta= \theta_1$ entonces los $K$-homomorfismos $\phi_i: K(\theta) \to C$ tal que $\phi_1(\theta) = \theta_i$ son todos distintos y su imagen es precisamente $K(\theta_i)$ por lo tanto hay exactamente $n$ distintos $K$-isomorfimos de $K'$ en $C$.
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