Enteridad

Los enteros Gaussianos $\mathbb{Z}[i]$ son a los racionales Gaussianos $\mathbb{Q}(i)$ lo que son los enteros $\mathbb{Z}$ a los números racionales. Así que debemos verlos como los "enteros" del campo $\mathbb{Q}(i)$. La noción de enteridad es relativa a las coordenadas de la base $1,i$, sin embargo, también podemos dar una caracterización de los enteros ser entero que no depende de la base.

Proposición: El anillo $\mathbb{Z}[i]$ consiste precisamente de todos los elementos de $\mathbb{Q}(i)$ que satisfacen una ecuación polinoial de la forma $x^2+ax+b$ con $a,b\in \mathbb{Z}$, es decir, son los ceros de ecuaciones polinomiales mónicas (de grado dos) con coeficientes enteros.

Demostración:
En efecto, si $\alpha=c+di$ entonces $\alpha-c = di$ por lo que $(\alpha-c)^2 = -d^2)$ implicando que $\alpha^2-2c \alpha +(c^2 +d^2) =0$ que es un polinomio cuadrático mónico con coeficientes enteros. Conversamente si $\alpha = c+di \in \mathbb{Q}(i)$ es un cero de la ecuación $x^2+ax+b$ con $a,b\in \mathbb{Z}$, entonces $a = -2c$ y $b=c^2 + d^2$, por lo que $2c$ y $2d$ son enteros por lo que $(2c)^2 + (2d)^2 = 4(c^2+b^2) =4b \equiv 0\pmod 4$ que implica que $(2c)^2\equiv (2d)^4 \equiv 0 \pmod 4$ y entones existen enteros $k,r$ tal que $4k = 4c$ y $4r=4s$ implicando que $c=k, d=r$ son enteros.
$\blacksquare$

Definición:
Un Campo numérico $K$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$. A los elementos de $K$ los llamamos números algebraicos. Un número algebraico es llamado entero o entero algebraico, si este es el cero de un polinomio mónico con coeficientes en $\mathbb{Z}$.

Esta noción de entero se generaliza de manera natural a anillos, y de hecho esta noción general resulta de gran utilidad.

Sean $A,B$ anillos conmutativos con uno.

Definición:
Sea $A\subset B$ una extensión de anillos. Un elemento $b\in B$ es llamado entero sobre $A$ si satisface una ecuación polinomial de la forma $x^n +a_1x^{n-1}+\ldots+a_n=0$ con los $a_i \in A$ para todo $i=1,\ldots, n-1$. Decimos que el anillo $B$ es entero sobre $A$ si todo elemento de $B$ es entero sobre $A$

Ahora queremos demostrar que la suma y el producto de elementos enteros es nuevamente un elemento entero.

Sea $A =(a_{ij})$ una matriz de $r \times r$ con entradas en un anillo $R$. Sea $A^*=(a_{ij}^*)$ su matriz adjunta, es decir, la matriz cuyas entradas son: $a_{ij}^* = (-1)^{i=j} \mathop{det}(A_{ij})$, en donde $A_{ij}$ es el menor $ij$ de la matriz (que es la submatriz de $A$ obtenida por eliminar el renglón $i$-ésimo y la columna $j$-ésima). Entonces tenemos que $AA^* = \mathop{det}(A) I_{r}$ en donde $I_r$ es la matriz identidad de $r \times r$. Tenemos entonces que para $x \in R^r$:

(1)
\begin{align} Ax = 0 \Rightarrow (\mathop{det}(A))x = 0 \end{align}

Proposición: Una cantidad finita de elementos $b_1, b_2,\ldots, b_n \in B$ son enteros sobre $A$ si, y sólo si el anillo $A[b_1,\ldots,b_n]$ es finitamente generado como $A$-módulo.
Demostración:
$\rightarrow$ Haremos la demostración por inducción en el número de elementos $b_1, \ldots, b_n \in B$ que son enteros sobre $A$. Sea pues $b\in B$ entero sobre $A$. Sea $f(x) \in A[x]$ un polinomio mónico tal que $f(b)=0$. Cualquier otro elemento $c\in A[b]$ es de la forma $c=g(b)$ para algún polinomio $g(x)\in A[x]$. Por el algoritmo de la división en anillos de polinomios tenemos que existen polinomios $q(x), r(x) \in A[x]$ tal que $g(x) = f(x)q(x) + r(x)$ con $\operatorname{grad}(r) < \operatorname{grad}(f)$ más aún $c=g(b) = r(b) = a_0 a_1b+\cdots +a_{n-1}b^{n-1}$ y entonces $A[b]$ está generado por $1, b, b^2, \ldots, b^{n-1}$. Ahora supongamos que $A[b_1, \ldots, b_k]]$ es finitamente generado como $A$-módulo para $k<n$. Queremos demostrar que $A[b_1, \ldots, b_n]$ es finitamente generado, Pero $A[b_1, \ldots, b_n] = A[b_1, \ldots, b_{n-1}][b_n]$ notemos que $b_n$ es entero sobre $A[b_1, \ldots, b_{n-1}]$ por lo que entonces $A[b_1, \ldots, b_n]$ es finitamente generado como $A[b_1, \ldots, b_{n-1}]$ módulo, pero entonces también cono $A$-módulo por ser el anterior finitamente generado como $A$-módulo.

$\leftarrow$ Si el $A$-módulo $M=A[b_1,\ldots, b_n$ es finitamente generado por $w_1 , w_2, \ldots, w_k\in M$. Entonces todo elemento $b\in M$ se puede escribir como $bw_i= a_1w_{i,1} + \cdot + a_rw_{i,r}$ Entones podemos construir la matriz $(a_{ij})$ con coeficientes en $A$. Pero entonces tenemos que $(bI_r- \mathop{det}(a_{ij}))w = 0$ Pero por ser $w=(w_1, w_2, \ldots, w_n)$ los generadores de $M$ tenemos que $\mathop{det}(bI_r - (a_{ij})) = 0$ pero este último es un polinomio mónico con coeficientes $A$, así que $b$ es entero.
$\blacksquare$

Corolario-Definición: sean $\alpha,\beta\in B$ enteros sobre $A$ entonces $\alpha+\beta, \alpha\beta$ son enteros sobre $A$. De hecho el conjunto de todos los elementos de $B$ que son enteros sobre $A$ forman un subanillo de $B$ que contiene $A$. A este anillo se le llama la cerradura entera de $A$ en $B$. Este anillo es denotado por $\mathcal O_{B/A}$ (aunque temporalmente lo denotaremos por $\bar A$ si el anillo $B$ es entendido.

Proposición: Sea $A\subset B \subset C$ dos extensiones de anillos. $C$ es entero sobre $A$ si, y sólo si $C$ es entero sobre $B$ y $B$ es entero sobre $A$.

Demostración:
Tomemos un elemento $c\in C$ tal que $c$ es entero sobre $A$, entonces existe un polinomio mónico $f(x)\in A[X]$ tal que $f(c)=0$ pero podemos pensar que $f\in B[x]$ puesto que $A\subset B$ así entonces también $c$ es entero sobre $B$. Conversamente sea $c \in C$, queremos demostrar que $c$ es entero sobre $A$ dado que $C$ es entero sobre $B$ y $B$ entero sobre $A$. Como $C/B$ es entera, entonces $B[c]$ es una extensión entera de $B$ y existe un polinomio $f(x)=b_0 + b_1x+\cdot+b_{n-1}x^{n-1}+x^n \in . B[x]$ tal que $f(c) = 0$. Consideremos la extensión de $A$ dada por $A[b_0,b_1, \ldots , b_{n-1}]$ esta extensión es entera sobre $A$ pues todos los elementos $b_0, \ldots, b_{n-1}$ son enteros sobre $A$, y por lo tanto es un módulo finitamente generado sobre $A$; más aún $c$ es entero sobre $A[b_0,b_1, \ldots , b_{n-1}]$ por lo que $A[b_0,b_1, \ldots , b_{n-1}][c]$ es entero sobre $A[b_0,b_1, \ldots , b_{n-1}]$ y por lo tanto finitamente generado sobre $A[b_0,b_1, \ldots , b_{n-1}]$. Entonces $A[b_0,b_1, \ldots , b_{n-1}][c]$ también es finitamente generado sobre $A$ lo que implica que $c$ es entero sobre $A$.
$\blacksquare$

Definición:
/Un subanillo $A\subset B$ es enteramente cerrado en $B$ si $\mathcal{O}_{B/A}=A$//

Definición:
Si $A$ es un dominio entero y si $K=Frac(A)$ es su campo de fracciones, entonces decimos que $\mathcal{O}_{K/A}$ es la normalización de $A$ y en este caso decimos simplemente que $A$ es enteramente cerrado si es igual a su normalización.

Proposición: Todo dominio de factorización única es enteramente cerrado.
Demostración:
Sea $A$ un dominio de factorización única con $K$ su campo de fracciones. Si $c\in K$ es entero sobre $A$ entonces existen elementos $a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}\in A$ tales que $a_0 + a_1c+\cdot+ a_{n-1}c^{n-1}+ c^n =0$ por lo que:

(2)
\begin{align} c^n -= - (a_0 + a_1c+\cdot+ a_{n-1}c^{n-1}) \end{align}

Ahora sea $\pi\in A$ un elemento irreducible y supongamos que $\text{ord}_{\pi}(c)=\alpha$ queremos demostrar que $\alpha\ge 0$. Por la ecuación (2) tenemos que

(3)
\begin{align} n \alpha = \text{ord}_\pi (a_0 + a_1c+\cdot+ a_{n-1}c^{n-1}) \ge \text{min}\left\{ \text{ord}_\pi(a_0), \text{ord}_\pi(a_1c),\ldots, \text{ord}_\pi(a_{n-1}c^{n-1}) \right\} \ge m\alpha \end{align}

para algún $0\le m \le n$ pues $\text{ord}_\pi(a_kc^k) = \text{ord}_\pi (a_k) + k \alpha \ge k \alpha$ pues los $a_i\in A$ y por lo tanto $\text{ord}_\pi(a_k)\ge 0$. Entonces por la 3 tenemos que $n \alpha \ge k \alpha$ y esto es posible sólo si $\alpha \ge 0$. Como esto sucede para todo factor irreducible $\pi \in A$ tenemos entonces que $c\in A$ y por lo tanto $A$ es enteramente cerrado.
$\blacksquare$

Ejemplo: Los enteros $\mathbb{Z}$ son enteramente cerrados. También los enteros Gaussianos $\mathbb{Z}[i]$. De hecho, todos los dominios de ideales principales y por lo tanto todos los dominios euclidianos.

Ejercicios Hacer una lista grande de todos los dominios enteros que podemos decir hasta ahora que son enteramente cerrados.

Proposición: Sea $A$ un dominio entero con campo de fracciones $K$. Sea $L/K$ una extensión finita de campos. Sea $B$ la cerradura entera de $A$ en $L$. si $A$ es enteramente cerrado, entonces $B$ es enteramente cerrado, más aún, todo elemento $\beta\in L$ se puede escribir de la forma $\beta=b/a$ con $b\in B$ y $a\in A$.

Demostración:
Sea $B'$ la cerradura entera de $B$ en $L$ queremos demostrar que $B'=B$. Tenemos la siguiente torre de extensiones enteras $A\subset B\subset B'$ por lo que entonces $B'$ es entero sobre $A$, pero $B'\subset L$ por lo que entonces $B'\subset B$ (recrodar que $B$ es la cerradura entera de $A$ en $L$) y por lo tanto $B=B'$.

Ahora sea $\beta\in L$, como $L|K$ es algebraica entonces existe $f(x)\in K[x]$ tal que $f(\beta)=0$, limpiando denominadores en los coeficientes de $f$, es decir, multiplicando por una constante apropiada podemos suponer que $f(x)\in A[x]$ y entonces existen $a_1, a_2, \ldots, a_n \in A$ tales que

(4)
\begin{align} a_n \beta^n + a_{n-1}\beta^{n-1}+ \cdot + a_0 =0 \end{align}

Afirmamos entonces que $a_n \beta$ es entero sobre $A$. En efecto si multiplicamos la ecuación 4 por $a_n^{n-1}$ obtenemos una ecuación con coeficientes en $A$:

(5)
\begin{align} (a_n\beta)^n + \cdot+a_1'(a_n \beta) + a_0' =0 \end{align}

que nos muestra que $a_n \beta\in L$ es entero sobre $A$, esto es $a_n \beta\in B$ por lo que si hacemos $b =a_n \beta$ tenemos que $\beta=b/a$ para algún $b\in B$ y $\alpha\in A$.
$\blacksquare$

Proposición: Si $A$ es un dominio enteramente cerrado en su campo de fracciones $K$ y si $L$ es una extensión finita de $L$. Un elemento $\beta\in L$ es entero sobre $A$ si, y sólo si el polinomio mínimo de $\beta$ sobre $A$ tiene coeficientes en $A$.

Demostración:
Supongamos que $\beta\in L$ es entero sobre $A$, sea $f(x)\in A[x]$ mónico tal que $f(\beta)=0$ y sea $p(x)\in K[x]$ su polinomio mínimo. En entonces tenemos que $p(x) | f(x)$ en $A[x]$ por lo que todos los ceros de $p(x)$ son ceros de $f$ y por lo tanto enteros sobre $A$. Como los coeficientes de $f$ son sumas y productos de estas raíces, tenemos entonces que los coeficientes de $p$ son enteros sobre $A$, es decir, los entonces son elementos de $K$ que son enteros sobre $A$, por ser $A$ enteramente cerrado tenemos que $p(x)\in A[x]$.

Conversamente si el polinomio mínimo de $\beta$ es tal que $p(x)\in A[x]$ entonces $\beta$ es entero sobre $A$, pues recordemos que el polinomio mínimo es mónico.
$\blacksquare$

Si no se indica lo contrario, el contenido de esta página se ofrece bajo Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License