Extensiones Algebraicas

Sea $F$ un campo. Si $F$ es un subcampo de otro campo $E$, entonces decimos que $E$ es una extensión de $F$. Si pensamos en $E$ como un espacio vectorial sobre $F$ entonces podemos hablar de la dimensión de $E$ sobre $F$ que denotaremos por $E:F]$. Si la dimensión es finita, decimos que la extensión $E/F$ ($E$ sobre $F$) es finita.

Definición: Un elemento $\alpha\in F$ se llama algebraico sobre $F$ si existen elementos $a_0,a_1, a-2, \ldots, a_n \in F$ con $n\ge 1$ y no todos iguales a cero tal que $a_0 + a_1 \alpha+ \cdot + a_n \alpha^n = 0$. Equivalentemente $\alpha$ es algebraico si el homomorfismo de evaluación $ev_\alpha:F[x] \to E$ tiene núcleo distinto de cero (es decir, no es inyectivo). En este caso su núcleo es generado por un ideal primo $(p(x)$ en donde $p(x)$ es mónico irreducible. A este polinomio lo llamamos el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $F$ y a el grado de este polinomio lo llamamos el grado de $\alpha$ sobre $F$.

Nota: Notemos que si $\alpha\in E$ es algebraico sobre $F$, entonces tenemos que $F[\alpha]\simeq F[x]/(p(x))$, con $p(x)$ el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $F$. También notemos que si $\alpha \ne 0$ es algebraico, entonces siempre podemos encontrar una tal expresión polinomial $p(\alpha)=0$ de tal manera que su término constante es diferente de cero.

Definición:Una extensión algebraica $E/F$ es algebraica sobre $F$ si todo elemento $\alpha\in E$ es algebraico sobre $F$.

Proposición: Si $E/F$ es una extensión finita, entonces $E/F$ es algebraica.
Demostración: si $\alpha\in E$ entonces consideramos sus potencias que no pueden ser linealmente independientes sobre $F$.

Notemos que el converso de esta proposición no es necesariamente cierta; en efecto, existen extensiones algebraicas infinitas.

Proposición: Sea $L\subset F \subset K$ una torre de extensiones de campos, entonces se tiene que:

(1)
\begin{equation} [K:L] = [K:F][F:L] \end{equation}

Demostración:
Considerar bases de estas extensiones. Notar que no se está asumiendo dimensión finita.
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Corolario: La extensión $K/L$ es finita si y sólo sí $k/F$ y $F/L$ son finitas.

El corolario anterior se extiende de manera inmediata a torres de subcampos $F_1 \subset F_2 \subset \cdots \subset F_n$.

Si $\alpha\in E$ entonces denotamos por $F(\alpha)$ al subcampo más pequeño de $E$ que contiene a $F$ y a $\alpha$. Este campo contiene obviamente a todas las expresiones de la forma $\frac{f(\alpha)}{g(\alpha)}$ en donde $f,g\in F[x]$ y $g(\alpha)\ne 0$.

Proposición: Sea $\alpha$ algebraico sobre $F$. Tenemos que $F(\alpha) = F[\alpha]$ y $F(\alpha)$ es finita sobre $F$. Más aún, el grado de $\alpha$ sobre $F$ es igual a $[F(\alpha): F]$.

Definición:
//Supongamos que $L,F$ son subcampos de otro campo $E$. Entonces denotamos por $LF$ al menor subcampo de $E$ que contiene a ambos $L,F$ y lo llamamos el campo compuesto de $L$ y $F$. //

Si $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n \subset E$ entonces podemos considerar al mínimo subcampo de $E$ que contiene a $F\subset E$ y a los elementos $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$]. Este subcampo es denotado por [[$F(\alpha_1, \cdots, \alpha_n)$. Los elementos de este campo se pueden entender como cocientes de la forma $f(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)/g(\alpha_1, \ldots, \alpha_n$ con $g(\alpha)\ne 0$ y $f,g$ polinomios en $n$ variables.

Definición:
Decimos que un campo $E$ está finitamente generado sobre $F$ si $E = F(\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n)$ para algunos elementos $\alpha_1, \ldots, \alpha_n \in E$

Nota: Notemos que no es lo mismo que $E/F$ sea una extensión finita a que $E/F$ sea finitamente generada. De hecho $\mathbb{Q}(\pi)$ es una extensión finitamente generada sobre $\mathbb{Q}$, sin embargo, no es una extensión finita pues $\pi$ es trascendente.

Proposición: Si $E/F$ es una extensión finita, entonces $E/F$ es finitamente generada.

Demostración:
Considerar una base de $E/F$ como espacio vectorial, digamos $\alpha_1, \ldots, \alpha_n$, entonces tenemos que $E=F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$.
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Nota: Si $E= K(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ es una extensión finitamente generada sobre $K$ y si $F,E$ son subcampos de $L$ y $F$ una extensión de $K$, entonces tenemos que $EF = F(\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$ y tenemos que $EF$ es finitamente generada sobre $F$.

Supongamos que $\alpha\in E$ es algebraico sobre $K$ y que además $F$ es una extensión de $K$ contenida en $E$, entonces $\alpha$ es algebraico sobre $F$. Más aún si tenemos una torre de campos:

(2)
\begin{align} K(\alpha_1) \subset K(\alpha_1,\alpha_2) \subset K(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)\subset \ldots \subset K(\alpha_1, \ldots, ;\alpha_n) \end{align}

y supongamos que cada $\alpha_i$ es algebraico sobre $K$ entonces cada paso en la torre es una extensión algebraica.

Proposición: Sea $E= K(\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_n)$ en donde cada $\alpha_i$ es algebraico sobre $K$. Entonces $K/K$ es una extensión finita (por lo tanto algebraica).
Demostración:
Ejercicio
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Teorema: Si $F$ es un campo finito o si $F$ tiene característica cero, entonces toda extensión algebraica $E/F$ finitamente generada es simple, es decir, $E$ es finitamente generada por un sólo elemento: $E = F(\alpha)$.

Para demostrar este resultado necesitamos entender un poco mejor cómo trabajar con raíces de polinomios sobre un campo.

Recordemos primero que si $f\in F[x]$ es un polinomio no nulo y si $\alpha\in F$ es una raía entonces $x-\alpha$ divide a $f$ (este es el llamado teorema del factor). Este resultado se generaliza trivialmente a lo siguiente: Si $f\in F[x]$ y si $\alpha \in E$ es un elemento en una extensión $E$ de $F$ tal que $f(\alpha)$ = 0, entonces existe un polinomio $g\in E[x]$ tal que $f =(x-\alpha) g(x)$ viendo a ahora a $f$ como polinomio en $E[x]$. En este caso decimos que $\alpha\in E$ es una raía de $f$ en la extensión $E$ de $F$.

De la misma manera, el teorema del residuo nos dice que si $\alpha\in E$ y si $f\in F[x]$ con $E/F$ una extensión de campos, entonces existen un polinomio $g(x), \in E[x]$ y un $r\in E$, tal que $f(x) = (x-\alpha)g(x) + r$. Claramente la constante $r=f(\alpha)\in E$ y vemos que $r= 0$ si, y sólo si $\alpha$ es una raía de $f$ en $E$.

Ahora notemos que si $\alpha\in E$ es una raía de $f$, entonces existe un $m$ entero positivo tal que $(x-\alpha)^m \mid f(x)$ en $E[x]$ pero $(x-\alpha)^{m+1}$ ya no lo divide. Es decir $m$ es el orden del elemento irreducible $(x-\alpha)$ en la factorización en irreducibles de $f$ en $E$. Si este orden es mayor que uno, decimos que $\alpha$ es una raíz múltiple de multiplicidad $m=\text{ord}_{(x-\alpha)}(f)$

Queremos dar un criterio para saber cuándo un polinomio con coeficientes en $F$ tiene raíces múltiples en alguna extensión de $F$. Para esto es útil introducir el operador derivada:

El operador derivada es e homomorfismo lineal $F$-lineal $D: F[x] \to F[x]$ tal que $D(x^n) = nx^{n-1}$. Es fácil ver que este operador es en efecto $F$-lineal, pero además satisface la siguiente regla de Leibinitz:

(3)
\begin{equation} D(fg) = fD(g)+gD(f) \end{equation}

Como es costumbre, denotaremos por $f':=D(f)$. Notemos que si $f\in F[x]$ entonces también $f'\in F[x]$.

Lema: Sea $F$ de característica $p>0$ y $f\in F[x]$. Entonces $f'(x)=0$ (es el polinomio cero) si, y sólo si existe $g\in F[x]$ tal que $(x)=g(x^p)$ con $p=\text{char} F$. En particular si $f'=0$ entonces el grado de $f$ es múltiplo de $p$. Si $F$ es de característica cero, entonces $f'=0$ si y sólo sí $f$ es constante.

Proposición: Un polinomio $f\in F[x]$ tiene una raíz múltiple $\alpha$ en alguna extensión $E$ entonces $f'$ tiene también a $\alpha$ como raíz en $E$. Más aún, en este caso la multiplicidad de $\alpha$ en $f'$ es la multiplicidad de $\alpha$ en $f$ menos uno si la característica de $F$ es cero.

Demostración:
Supongamos que $\alpha$ es una raíz de orden $m>1$ de $f$ en $E$, entonces $f(x) = (x-\alpha)^m g(x)$ para algún $g\in E[x]$. Ahora si derivamos encontramos que $f'(x) = g D((x-\alpha)^m) +(x-\alpha)^m D(g) = (x-\alpha)^{m-1}[mg - (x-\alpha)g'(x)$] así que $\alpha$ también es raíz e $f'$ y si $m$ no es divisible por la característica de $F$ entonces $(x-\alpha)$ tiene orden $m-1$ en $f'$.
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Proposición: Si $f,g\in F[x]$ son polinomios no nulos, y si $h$ es el polinomio en $F[x]$ tal que $(f,g)=(h)$ (recordemos que $F[x]$ es de ideales principales). S $\alpha$ es una raíz común de $f,g$ en una extensión $E$ de $F$ si, y sólo si $\alpha$ es una raíz de $h$ en $E$.

Corolario: $f\in F[x]$ tiene raíces múltiples en alguna extensión de $F$ y si $f'\ne 0$ entonces $(f,f') \ne F[x]$. Conversamente, si $(f,f')\ne (1)$ entonces $f$ tiene raíces múltiples.

Notar en particular que este corolario nos da un criterio para saber si un polinomio tiene raíces múltiples sin necesidad de saber en qué campo están estas raíces múltiples. Es así un criterio que sólo depende del campo base.

Corolario: Un polinomio irreducible $f\in F[x]$ en un campo de característica cero no tiene raíces múltiples.

En campos de característica positiva existen contraejemplos del corolario anterior. Se verá en clase.

Ahora sí estamos en posición de demostrar el teorema:

Teorema: Si $F$ es un campo finito o si $F$ tiene característica cero, entonces toda extensión algebraica $E/F$ finitamente generada es simple, es decir, $E$ es finitamente generada por un sólo elemento: $E = F(\alpha)$.

Demostración:
El caso $F$ de característica positiva es inmediato (ejercicio). Supongamos pues que la característica de $F$ es cero.

El problema se reduce fácilmente a demostrar que si $F(\alpha,\beta)$ es una extensión simple de $F$, es decir que para todos $\alpha, \beta$ en alguna extensión de $F$, se tiene que $F(\alpha,\beta) = F(\theta)$ para algún $\theta$ en $F(\alpha,\beta)$.

De ser cierto el resultado entonces $\theta = \alpha+c \beta$ para algún $c\in F$, así que tenemos que buscar candidatos para $\theta$ que sean de esta forma.

Sea $p_\alpha, p_\gamma$ los polinomios mínimos de $\alpha, \beta$ respectivamente sobre $F$. Sean $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ y $\beta_1, \beta_2, \ldots,\beta_m$ sus raíces tales que $\alpha= \alpha_1, \beta= \beta_1$. Entonces existe un elemento $c\in F$ tal que $\alpha+\beta c \ne \alpha_i + c \beta_j$ para todos $i,j\ne 1,1$. Sea $\theta= \alpha+ \beta c$. La afirmación es que $F(\theta) = F(\alpha,\beta)$. En efecto la contención $F(\theta) \subset F(\alpha,\beta)$ es trivial. Para demostrar la otra contención basta demostrar que $\beta\in F(\theta)$.

Consideremos el polinomio $f(x) = p_\alpha(\theta-c x) \in F(\theta)[x]$ este polinomio tiene a $\beta$ como raíz pero también $p_\beta$ tiene a $\beta$ como raíz, así que el polinomio $h\in F(\theta)[x]$ tal que $(h) = (f, p_\beta)$ tiene a $\beta$ como raíz y además esta es la única raíz pues de tener otra raíz esta tendría que ser una de las $\beta_j$ pero entonces como $f(\beta_j) = 0$ entonces $\theta-c \beta_j = \alpha_k$ pero por la elección de $c$ esto es imposible. Así que $h$ tiene exactamente una raíz y por lo tanto $h = (x-\beta)\in F(\theta)[x]$ así que $\beta\in F(\theta)$ como queríamos demostrar.
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