Ideales

Ideales

Sea $R$ un anillo conmutativo con uno.

Definición: Un subconjunto $I\subset R$ es un Ideal de $R$ si para todo $r,s \in I$ y $k\in R$ se cumple que $ks-r \in I$.

Ejemplos:

  • Si $n\in \mathbb Z$ entonces el conjunto de múltiplo de $n$ en $\mathbb Z$ es un ideal. Denotado también por $(n)= n \mathbb Z$.
  • Si $n,m \in \mathbb Z$ entonces el conjunto $(n,m):=\{ nx+my : x,y\in \mathbb Z \}$ de combinaciones lineales en $\mathbb Z$ es un ideal. De hecho este es el ideal $d\mathbb Z$ con $d$ el mínimo común múltiplo de $m,n$.
  • Los ideales triviales son el ideal formado únicamente por el cero $(0)$ y el ideal generado por el $1$ que es $(1)=R$.

Definición: Sea $X\subset R$ un subconjunto cualquiera. Definimos al ideal generado por $X$ como el ideal $<X>$ más pequeño que contiene a $X$. Decimos que un ideal $I$ es finitamente generado, si existe un subconjunto finito $X\subset R$ tal que $I=<X>$. Si además $I$ está generado por un único elemento, decimos que $I$ es un ideal principal.

Podemos ver que el ideal generado por el conjunto $X$ es el conjunto de todas las sumas finitas de la forma $\sum r_ix_i$ con $r_i\in R$ y $x_i \in X$; es por esta razón que al ideal generado por $X$ lo denotamos por $XR$. En caso de que $X =\{r\}$ entonces a dicho ideal lo denotamos simplemente por $rR$. Por ejemplo, el ideal en los enteros generado por $5$ es $5 \mathbb{Z}$ de los enteros múltiplos de 5.

Definición: Un homomomorfismo de anillos es una función $\phi:R_1\to R_2$ tal que pata todo $x,y\in R$ se cumple que $\phi(x+y) = \phi(x)+ \phi(y)$, $\phi(xy)=\phi(x)\phi(y)$ y $\phi(1) = 1$. El homomorfismo en inyectivo si $\phi$ es inyectivo como función y es suprayectivo si es suprayectivo como función. $\phi$ es un isomorfismo si existe otro homomorfismo $\psi:R_2\to R_1$ tal que $\phi\circ \psi= Id$ y $\psi\circ \phi = Id$ es el homomorfismo identidad en los respectivos anillos. Un isomorfismo es un homomorfismo biyectivo (ejercicio).

Dado un homomorfismo $\phi$ tenemos que la imagen de $\phi$ y su núcleo son ideales de los respectivos anillos. Estos ideales son denotados por $Im(\phi)$ y $Ker(\phi)$ respectivamente.

Anillos Cociente

Dado un ideal $I\subset R$ podemos construir un nuevo anillo que depende de $I$ y es denotado por $R/I$ llamado el anillo cociente de $R$ por $I$. Este anillo resulta ser el conjunto de clases de equivalencia de elementos en $R$ en donde decimos que dos elementos $r,s \in R$ están relacionados $r\simeq s$ si $r-s \in I$. Es inmediato verificar que $\simeq$ es una relación de equivalencia. A la clase de $r\in R$ la denotamos por $r+ I$ o simplemente por $\overline r$ si es claro el contexto.

Proposición: El conjunto de clases de equivalencia $R/I$ puede ser dotado de una estructura de anillo (llamado el anillo cociente de $R$ por $I$ de la siguiente manera:
Dadas dos clases $\overline r, \overline s \in R/I$

  • Suma:$\overline r + \overline s:= \overline{r+s}$
  • Producto: $\overline r \overline s := \overline{rs}$

Es un ejercicio verificar que estas operaciones están bien definidas y que en efecto con estas operaciones $R/I$ tiene estructura de anillo. Notemos que $\overline 0 = I$.

Nota: A pesar de que en general estamos suponiendo que en los anillos con los que trabajamos tienen al menos dos elementos, notemos que $R/(1)$ es el anillo trivial.

Proposición: Todo Ideal de $R$ es el núcleo de un homomorfismo.

En efecto, dado un ideal $I\subset R$ tenemos un morfismo canónico $\phi:R\to R/I$ dado por $r\mapsto \overline r$. Este es en efecto un homomorfismo de anillos que cumple que su núcleo es precisamente $I$. Más aún claramente podemos verificar que $\phi$ es suprayectivo.

Porposición: El anillo $R/I$ satisface la siguiente propiedad universal: Supongamos que $f: R\to R'$ es un homomorfismo de anillos tal que $I \subset Ker(\phi)$. Entonces existe un homomorfismo de anillos $\overline \phi: R/I \to R'$ tal que $\phi(\overline r) = f(r)$. $R/I$ es único, salvo isomorfismo, con esta propiedad.

Nota: Notar que $R/I$ puede tener divisores de cero (aunque $R$ no los tenga) y puede tener incluso nilpotentes. Sin embargo para cierta clase de ideals (los llamados ideales primos) tenmos que $R/I$ siempre es un dominio entero. Más aún, para otra clase de ideales que contiene a la anterior, llamados ideales maximales, tenemos que $R/I$ es un campo. Por ejemplo. $p\mathbb{Z}$ es maximal para $p$ primo y tenemos que $\mathbb{Z}/p \mathbb{Z} = \mathbb F_p$ es el campo finito con $p$ elementos. Cuando $I$ es maximal decimos que $R/I$ es el campo de cocientes de $R$ por (o módulo) $I$.

Ejemplos

  • $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ los enteros módulo $n$ es un anillo cociente.
  • Si $F=\mathbb R$ es el campo de los números reales y $\mathbb R[x]$ es el anillo de polinomios en la variable $x$, entonces el ideal principal $(x^2 +1)$ es tal que $F[x]/(x^2+1)$ es un campo isomorfo a los números complejos: $\mathbb R[x]/(x^2+1) \simeq \mathbb{C}$.
  • Si en el ejemplo anterior, en vez de considerar $F$ como a los coeficientes de los polinomios y en cambio consideramos a los coeficientes los números enteros, entonces $\mathbb{Z}[x]/(x^2=1)\simeq \mathbb{Z}[i]$ obtenemos a los enteros Gaussianos.
  • Si $\omega$ es la raíz cúbica de la unidad $e^{2 \pi i/3}$ entonces $\mathbb{Z}[x]/(x^2+x+1)$ es isomorfo a los enteros de Einsestein $\mathbb{Z}[\omega]$.

Campo de Fracciones

Habíamos visto que todo subanillo de un campo es un dominio entero. Ahora veremos que todo dominio entero es un subanillo de un campo y este campo es de particular interés.

Teorema Para todo $D$ dominio entero existe un campo $Frac(D)$, único salvo isomorfismo, con la propiedad de que $D\subset Frac(D)$ es un subanillo y tal que si $f:D\to F$ is un morfismo de anillos con $F$ un campo y tal que para todo $a\ne 0$ se tiene que $f(a)\ne 0$, entonces existe un único morfismo $\phi: Frac(D) \to F$ tal que la composición $D\subset Frac(D) \to F$ es exactamente $f$.

Al campo $Frac(D)$ se le llama el campo de fracciones de $D$.

El campo de fracciones se construye de manera similar a como se construyen los números racionales a partir de los números enteros. De hecho los racionales es el campo de fracciones de los enteros.

Definimos una relación en $D\times D\setminus \{0\}$ como $(a,b)\simeq (x,y)$ si $ay-bx = 0$j. Esta es una relación de equivalencia y a la clase de equivalencia de $(a,b)$ la denotamos por $\frac ab$. Al conjunto de clases de equivalencia lo denotamos por $Frac(D)$ y lo dotamos de las siguientes opreaciones:

  • $a/b + d/e:= (ae + bd)/(eb)$
  • $a/b*c/d := (ac)/(bd)$

Es fácil verificar que estas operaciones están bien definidas y que $Frac(D)$ con estas operaciones es un campo con elemento identidad $1=1/1$ y elemento cero $0/1$.

Tenemos un monomorfismo canónico $\imath: D\to Frac(D)$ dado por $a\mapsto a/1$ y por lo tanto identificamos a $D$ con su imagen. En este sentido
todo dominio entero se puede ver como un subanillo de un campo.

Proposición: Si $D$ es un dominio entero finito, entonces $D$ es un campo.

El campo primo y la característica de un campo

Dado un campo $F$ podemos considerar a la familia de todos sus subcampos. La intersección de todos estos subcampos no triviales es un campo llamado el campo primo de $F$. Por ejemplo el campo primo de los reales $\mathbb R$ son los números racionales $\mathbb Q$ que es el mismo campo primo de los números complejos.

Dado un anillo cualuqiera $R$ (conmutativo y con $1_R$), podemos siempre considerar el siguiente homomorfismo:

(1)
\begin{align} \xi: \mathbb{Z} \to R; \quad m\mapsto m*1_R \end{align}

Este homomorfismo revela una propiedad importante del anillo $R$ llamado la característica del anillo $R$. En efecto, el núcleo de $\xi$ es un ideal de $\mathbb{Z}$. Como todo ideal de $\mathbb{Z}$ es principal, tenemos que $Ker(\xi) = (d)$. Este numerito nos dice cuántas veces tenemos que sumar el uno del anillo para obtener al cero:

(2)
\begin{align} d1_R=\underbrace{1+1+\ldots+1}_{d \text{veces}}=0 \end{align}

Definición: La característica de un anillo $R$ es el entero positivo$d$ más pequeño tal que $d1_R =0$, si este existe, de lo contrario la característica es cero. Este entero es el generador no negativo del ideal principal $Ker(\xi)$ para $\xi: \mathbb{Z}\to R$ descrito más arriba.

Notemos que $\mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$ son anillos (de hecho campos) de característica cero. Sin embargo un campo siempre tiene característica un número primo.

Proposición: Sea $D$ un dominio entero. Entonces la característica de $D$ es cero o un número primo. En particular los campos finitos tienen característica un número primo.

Porposición: Sea $F$ un campo. Si para todo natural $n$ se tiene que $n1_F \ne 0$ entonces decimos que $F$ tiene característica cero. En este caso tenemos que $F$ es de característica cero si, y sólo si el campo primo de $F$ son los racionales $\mathbb Q$. Por el contrario, si existe $n$ natural tal que $n1_F = 0$ entonces existe un $p$ más pequeño con esta propiedad. Al natural más pequeño con esta propiedad lo llamamos la característica del campo $F$ y este número resulta ser un número primo $p$. Tenemos que un campo tiene característica $p>0$ si y sólo si el campo primo de $F$ es el campo finito $\mathbb F_p$ con $p$ elementos.

Recordemos que un campo $F$ es algebraicamente cerrado si todo polinomio con coeficientes en $F$ se descompone totalmente en $F$. Equivalentemente si todo polinomio en $F[x]$ se factoriza como producto de polinomios lineales. Los números complejos $\mathbb{C}$ es un ejemplo de un campo algebraicamente cerrado, sin embargo $\mathbb{R}, \mathbb{Q}$ son campos que no son algebraicamente cerrados.

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