Ideales Primos y Maximales

Ideales Primos

Sea $R$ un anillo conmutativo y con uno.

Definición: Un ideal $P\subset R$ es primo si siempre que $ab\in P$ entonces $a \in P$ o $b\in P$.

Proposición: Un ideal $P\subset R$ es primo si, y sólo si, $A/P$ es un dominio entero.

Definición: Un ideal $M\subset P$ es llamado maximal si para algún otro ideal propio $I\subset R$ tal que $M\subseteq I$ se tiene que $M=I$.

Observar que en particular todo ideal maximal es in ideal propio de $R$.

Proposición: Un ideal $M$ es maximal sí y sólo si $R/M$ es un campo.
Demostración: Supongamos que $M$ es un ideal maximal y sea $\overline x \in R/M$ con $\overline x \ne 0$ entonces $x\notin M$. Queremos demotrar que $\ demostrar x$ es una unidad de $R/M$. Consideremos el ideal $(x)+M$ este es un ideal que contiene a $M$ propiamente, por lo tanto (dado que $M$ es maximal) tenemos que $(x)+M = R$ entonces existen elementos $a\in R , b\in M$ tal que $1 = ax +m$ pero entonces $\overline 1 = \overline{ax} = \overline x \overline a$ y $\overline x$ es una unidad.

Conversamente, supongamos que $R/M$ es un campo. Queremos demostrar que $M$ es maximal. Supongamos lo contrario, es decir que existe un ideal $I\subset R$, que no es el total, y tal que $M\subset I$ propiamente. Entonces existe un $y \in I$ tal que $y\notin M$. Así tenemos que $\overline y \ne 0$ y entonces $\overline y$ es una unidad en el cociente y existe un $a\in R$ tal que $ay + m = 1$ para algún $m\in M$, pero $ay+m \in I$, es decir $1\in I$, es decir $I=R$ que es una contradicción.

Corolario: Todo ideal maximal es primo.

Ejemplo:

  1. Todo ideal primo en $\mathbb{Z}$ está generado por un elemento primo.
  2. Todo ideal primo en $\mathbb{Z}$ es maximal.
  3. El ideal $(x^2+1)\subset \mathbb{R}[x]$ es primo (de hecho maximal) pues $\mathbb{R}[x]/(x^2+1)\simeq \mathbb{C}$.

Proposición: Todo ideal $I\subset R$ está contenido en algún ideal maximal.
Demostración:
Sea $\mathcal I$ el conjunto de todos los ideales propios de $R$ que contienen a $I$. Este conjunto está parcialmente ordenado con la contención. Más aún toda cadena ascendente de ideales en $\mathcal I$ está acotado superiormente (por la union de estos elementos), así que $\mathcal I$ tiene elementos maximales en este orden (lema de Zorn). Afirmamos que cualquier elemento maximal de $\mathcal I$ es de hecho un ideal maximal que contiene a $\mathcal I$. De lo contrario existe otro ideal $N\subset R$ propio tal que $M\subset N$ propiamente, pero entonces $N\in \mathcal I$ y entonces $M$ no es maxiaml de $\mathcal I$, lo cual es una contradicción.

Proposición: Sea $f: R \to R'$ un homomorfismo de anillos. Si $P\subset R'$ es un ideal primo, entonces $f^{-1}(M)\subset R$ es un ideal primo de $R$.

Proposición: Si $f:R\to R'$ es un epiporfismo y $M\subset R'$ es maximal, entonces $f^{-1}(M)$ también es maximal.

Teorema: (Teorema Chino del Residuo). Sean $I_1, I_2, \ldots, I_n$ ideales del anillo $R$ tales que $I_i + I_j = A$ para todo $i\ne j$ (son comaximales). Dados elementos $x_1, x_2, \ldots, x_n \in R$ existe un $x\in R$ tal que $x\cong x_i \pmod{I_i}$

Demostración: Demostremos el caso para $n=2$. El caso general es muy similar.
Como $I_1+I_2 = R$ existen $y_i \in I_i$ tal que $y_1+y_2 =1$. Notemos entonces que $y_i \equiv 1 \pmod{I_j}$.
Construimos a $x$ de la siguiente manera:

(1)
\begin{equation} x = x_1y_2 + x_2y_1 \end{equation}

Tenemos entonces que $x\equiv x_1y_2 + 0 \equiv x_1 \pmod{I_1}$ y similarmente $x\equiv x_2y_1 \equiv x_2$.

Corolario: Sean $I_1, I_2, \ldots, I_n$ ideales de $R$ que son comaximales, es diecri que $I_i+ I_j=R$ siempre que $i\ne j$. Sea:

(2)
\begin{align} f: R \to R/I_1 \times R/I_2 \times \cdot \times R/I_n; \quad x \mapsto (x \pmod{I_i})_{i= 1...n} \end{align}

Entonces el núcleo de $f$ es $\cap_{i=1...n}I_i$ y $f$ es epimorfismo, por lo que $f$ induce un isomorfismo:

(3)
\begin{align} R/(\cap_{i=1}^n I_i) \simeq \prod_{i=1}^n R/I_i. \end{align}

Demostración: Es una consecuencia inmediata del resultado anterior.

Corolario: $R^* \simeq \prod_{i=1}^n (R/I_i)^*.$

Ejemplo: El teorema chino del residuo en los enteros es el viejo conocido: $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \simeq \mathbb{Z}/p_1^{\alpha_1} \times \ldots \times \mathbb{Z}/p_k^{\alpha_k}$ en donde $m=p_1^{\alpha_1}\cdot p_k^{\alpha_k}$. También tenemos que $(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z})^* \simeq (\mathbb{Z}/p_1^{\alpha_1})^* \times \ldots \times (\mathbb{Z}/p_k^{\alpha_k})^*$ implicando que si $\phi$ es la phi de Euler (que cuenta el número de elementos positivos menores que el entero $m$ en que se evalúa, satisface $\phi(m) = \prod \phi(p_i^{\alpha_i}) = \prod_i (p-1)p^{\alpha_i-1}$.

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