La Norma Y La Traza

La traza y la norma en campos

Sea $L$ una extension de $K$. Sea $x\in L$ y consideremos la $K$-transformación lineal, multiplicación por $x$:

(1)
\begin{align} T_x:L\to L; \quad T_x(\alpha)= x \alpha \end{align}

Definición:
Definimos a la traza de $x\in L$ como $\operatorname{Tr}_{L|K}(x):= \operatorname{Tr}(T_x)$ y definimos a la norma de $x\in L$ como $N_{L|K}(x):= \mathop{det}(T_x)$.

Si $[L:K] =n$ entonces el polinomio característico $f_x(t) \in K[x]$ de $T_x$ satisface que:

(2)
\begin{align} f_x(t) = t^n-a_1+\ldots+(-1)^na_n \end{align}

con $a_1= \operatorname{Tr}_{L|K}(x)$ y $a_n = N_{L|K}(x).$

Proposición: Si consideramos la aplicación $T:L\to GL_K(L)$ del campo $L$ a la $K$-álgebra de transformaciones $K$-lineales de $L$ en si mismo (con la suma punto a punto y el producto la composición), tal que $x\mapsto T_x$ entonces $T$ es un homomorfismo de $K$-álgebras. Es decir $T_{x+y} = T_x+T_y$, $T_{xy} = T_x\circ T_y$ y $T_{kx} = kT_x$ para todos $x,y \in L$ y $k\in K$.

Corolario: $\operatorname{Tr}_{K|L}: L\to K$ es un homomorfismo de grupos (con la suma) y $N_{K|L}: L^* \to K^*$ es un homomorfismo de grupos (con el producto).

Demostración:
Sean $x,y\in L$ entonces $\operatorname{Tr}_{L|K}(x+y) = \operatorname{Tr}(T_{x+y}) = \operatorname{Tr}(T_x+T_y) = \operatorname{Tr}(T_x)+ \operatorname{Tr}(T_y) = \operatorname{Tr}_{L|K}(x) + \operatorname{Tr}_{L|K}(y)$. Claramente $\operatorname{Tr}_{L|K}(0)=0$.

De manera análoga se prueba para la norma.
$\blacksquare$

Proposición: Supongamos que $L$ es un campo finito o de característica cero y $L|K$ extensión finita. Si $x\in L$ tiene polinomio mínimo $p_x(t)\in K[t]$ entonces tenemos que $f_x(t) = p_x(t)^d$ con $d=[L,k(x)]$.

Demostración:
si $[K(x)|K] = m$ entonces $p_x(t)$ tiene grado $m$ y como hemos visto antes $1, x, x^2, \ldots, x^{m-1}$ forma una base de $K(x)|K$. Si ahora $[L|K(x)] = d$ y si $\alpha_1, \alpha_2, \ldots,\alpha_d$ es una base de $L$ sobre $K(x)$ tenemos entonces que los productos $\{x^i \alpha_j\}$ con $0\le i \le m-1$ y $1\le j \le d$ forman una base de $L|K$. En esta base, la matriz de $T_x:L\to L$ está formada por bloques en la diagonal de la forma:

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en donde $p_x(t)= t^m+c_1t^{m-1}+\cdot+c_m$.
Este bloque tiene como polinomio característico exactamente $p_x(t)$; así que como hay $d$ de estos bloques contamos que $f_x=p_x^d$. $\blacksquare$

Corolario: Si $x\in L$ tiene polinomio mínimo $(t-x_1) (t-x_2)\cdots (t-x_m)$ con $x= x_1$ y si $d=[L:K(x)]$ entonces tenemos que:

  1. $\operatorname{Tr}_{L|K}(x) = d\sum_{i=1}^m x_i$
  2. $N_{L|K}(x) = \left(\prod_{i=1}^m x_i\right)^d$

Corolario: Si tenemos una torre de extensiones finitas de campos $K\subset L\subset E$ entonces tenemos que:

(3)
\begin{align} \operatorname{Tr}_{E|K} = \operatorname{Tr}_{L|K}\circ \operatorname{Tr}_{E|L}; \quad N_{E|K} = N_{L|K}\circ N_{E|L} \end{align}

La traza y la norma en anillos

Sea $A$ un anillo y $E$ un $A$-módulo libre finitamente generado. Sea $\phi:E\to E$ un endomorfismo de $E$. La traza, el determinante y el polinomio característico de $\phi$ se define exactamente de la misma manera que en el caso clásico: si $(e_i)$ es una base de $E$ sobre $A$ y si $(a_{ij}$ es la matriz de $\phi$ en esta base, entonces:

  1. $\operatorname{Tr}(\phi) = \sum a_{ij}$
  2. $\mathop{det}(\phi) = \mathop{det}(a_{ij})$
  3. $f_\phi(t) = \mathop{det}(tI_E-\phi)$

De estas fórmulas obtenemos inmediatamente las propiedades usuales:

  1. $\operatorname{Tr}(\phi+\psi)= \operatorname{Tr}(\phi)+ \operatorname{Tr}(\psi)$;
  2. $\mathop{det}(\phi\psi) = \mathop{det}(\phi)\mathop{det}(\psi)$ y
  3. $f_E(t) = t^n - \operatorname{Tr}(\phi)t^{n-1}+ \cdot + (-1)^n \mathop{det}(\phi)$.

Sea $B$ un anillo y $A$ un subanillo de $B$ tal que $B$ es una $A$-álgebra libre de rango finito $n$. Para todo $x\in B$ la multiplicación por $x$, $m_x: B \to B$ tal que $b\mapsto bx$ es un endormorfismo del $A$-álgebras.

Definición:
Como en el caso sobre campos, definimos la traza y la norma de $x \in B$ como la traza y el determinante del endomorfismo $m_x$, denotados por $\operatorname{Tr}_{B|A}(x)$ y $N_{B|A}(x)$ o simplemente por $\operatorname{Tr}$ y $N$ si la $A$-álgebra y el anillo $A$ son claros en el contexto. Así mismo, decimos que el polinomio característico de $x$ es el polinomio característico de $m_x$.

Proposición: Para $x,y \in B$ y $a\in A$ se tiene que:

  1. $m_x + m_y = m_{x+y}$
  2. $m_x \circ m_y =m_{xy}$
  3. $m_{ax} = am_x$
  4. La matriz de $m_a$ es diagonal independientemente de la base, y todos los elementos de la diagonal son $a$.

Proposición: De lo anterior tenemos que:

  1. Tr(x+y) = Tr(x) + Tr(y)
  2. Tr(ax) = aTr(x)
  3. Tr(a) = na
  4. N(xy) = N(x)N(y)
  5. N(a) = $a^n$
  6. N(ax)= $a^nN(x)$

Proposición: Sea $K$ un campo finito o de característica cero. Sea $L$ una extension algebraica de $K$ de grado $n$ y $x\in L$. Si $x_1, x_2, \ldots, x_n$ son las raíces distintas del polinomio mínimo de $x=x_1$ (en una extensión que las contenga) repetidas $[L:K(x)]$ veces, es decir si $\sigma_i: L \to C$ es un $K$-encaje de $L$ en un campo algebraicamente cerrado $C$ que contiene a $K$ entonces podemos tomar $x_i = \sigma_i(x)$. Tenemos:

  1. Tr(x) = x_1 +x_2_ \ldots+x_n
  2. N(x) = x_1x_2 \cdots x_n
  3. El polinomio característico de $x$, $f_x(X) \in K[X]$ relativo a la extensión $L$ es $(x-x_1)(x-x_2) \cdots (x-x_n)$.
  4. El polinomio característico $f_x(X)$ es una potencia $[L:k(x)]$-ésima del polinomio mínimo $p_x(X)\in K[x]$ de $x$.

Proposición: Sea $A$ un dominio entero y sea $K$ su campo de fracciones. Sea $L$ una extensión finita de $K$ y $x\in L$ entero sobre $A$. Supongamos también que $K$ es de característica cero, entonces los coeficientes del polinomio característico de $x$ relativo a $L$ están en $A$, en particular la traza y la norma están en $A$.

Demostración:
Dado que los coeficientes del polinomio característico son sumas de productos de los conjugados de $x$, basta entonces demostrar que los conjugados de $x$ también son enteros sobre A. Si $h(t) = \in A[t]$ es una relación entera de $x$ en $A$ entonces tenemos que $h(x)=0$. Como $A\in K$ y $\sigma_i: L \to C$ fija a $K$, entonces también fija a $A$ y tenemos que $0 = \sigma_i(0) = \sigma_i(h(x)) = h(\sigma_i(x)) = h(x_i)$ y entonces $x_i$ es entero sobre $A$.

Corolario: Si $A$ es un dominio enteramente cerrado, y si $L$ es una extensión de $K$ como en la proposición anterior, entonces los coeficientes del polinomio característico de $x$ están en $A$, en particular la norma y la traza están en $A$.
$\blacksquare$

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