Sea $R$ un anillo conmutativo con uno.
Definición: Sea $M$ un grupo abeliano con una operació $+$. Una fuanción $\alpha: R \times M \to M$ se llama una $R$-acción o simplemente una acción de $R$ si se cumplen las siguientes propiedades:
- $\alpha(r+s,m)= \alpha(r,m)+\alpha(s,m)$
- $\alpha(r, m+n)= \alpha(r,m)+\alpha(r,n)$
- $\alpha(r,\alpha(s,m)) = \alpha(rs,m)$
- $\alpha(1,m) = m$
para tdos $r,s\in R$ y $m,n \in M$
Definición:
un $R$-módulo es un par $(\alpha, M)$ formado por grupo abeliano $M$ y una acción de $R$. En general diremos que $M$ es un $R$-Módulo y escribiremos sólo $M$ y no $(\alpha,M)$ a menos de que sea necesario. De la misma forma, si el anillo $R$ es fijo o está entendido, diremos simplemente que $M$ es un módulo.
En realidad la definición anterior es la de un $R$-módulo izquierdo pues la acción de $R$ es por la izquierda. Existe una noción análoga de acción derecha y de $R$-módulo derecho. Para nosotros un $R$-módulo es un $R$-módulo izquierdo.
Ejemplos:
- Un campo $F$ es un $F$-módulo sobre sí mismo
- Un $F$-espacio vectorial es un $F$-módulo. De hecho cualquier módulo sobre un espacio vectorial es un campo.
- Si $A$ es un grupo abeliano, entonces $A$ es un $\mathbb{Z}$-módulo. Todo $\mathbb{Z}$-módulo es un grupo abeliano.
- Si $I\subset R$ es un ideal del anillo $R$, entonces $I$ es un $R$-módulo. Así mismo $R/I$ es un $R$-módulo.
Definición:
Un submódulo $(\alpha',N)$ de $(\alpha, M)$ es un $R$-móudlo $(\alpha',N)$ tal que $\alpha'= \alpha\circ i$ en donde $i:N\to M$ es la inclusión. Es decir que $N\subset M$ y la restricción de $\alpha$ a $N$ hace de $N$ un módulo.
Nota: En general escribiremos $rn = \alpha(r,n)$ para $r\in R$ y $n\in M$.
Proposición: Sea $M$ un $R$-módulo. Un subgrupo $N\subset M$ es un submódulo si, y sólo si para todo $r\in R$ y todo $n\in N$ se tiene que $rn\in N$.
Como ejemplos triviales vemos que todo módulo es submódulo de sí mismo y que el $\left\{ 0 \right\}$ es un submódulo de $M$ siempre.
Si consideramos a $R$ como un $R$-módulo, entonces sus submódulos on precisamente los ideales de $R$.
Definición:
Sea $X\subset M$ no vacío. El submódulo de $M$ generado por $X$, denotado por $RX$ es el menor submódulo de $M$ que contiene a $X$. Aquí menor se refiere a un elemento mínimo con el orden de contención. Si $X=\emptyset$ entonces notemos que $RX:= \{0\}$.
Si $X\ne \emptyset$ entonces los elementos de $RX$ son todo los elementos de la forma $\sum r_ix_i$ con $r_i \in R$ y $x_i \in X$ y donde la suma es finita.
Definición:
un módulo $M$ es finitamente generado, si existe un subconjunto finito $X\subset M$ tal que $RX=M$.
Dado un sobmódulo $N\subset M$ podemos definir un nuevo módulo $M/N$ cuyos elementos son las clases de equivalencia del grupo factor $M/N$ y cuya accíon está dada por $r[n]:= [rn]$. Es un ejercicio verificar que está bien definido. A este módulo se le llama el módulo factor de $M$ por $N$.
Definición:
Un homomorfismo de $R$-módulos $f:M\to N$ es un homomorfismo de grupos abelianos que además cumple que para todo $r\in R$ y todo $m\in M$: $f(rm)=rf(m)$.
Notemos que así como para ideales se cumple que el núcleo de $f$ y la imágen de $f$ son sumbódulos de $M$ y $N$ respectivamente. Tenemos la noción de monomorfismo y epimorfismo de módulos y $f$ es monomorfismo si, y sólo si $Ker(f) = 0$. Más aún, la imágen inversa de un submódulo es un submódulo (bajo un homomorfismo).
Definición:
Un $R$-módulo es noetheriano si satisface la condición de cadena ascendente. Es decir, toda cadena ascendente de módulos es estacionaria.
Proposición: Sea $N\subset M$ un sumbódulo. $M$ es noeteriano si, y sólo si $N$ y $M/N$ son noetherianos.
Teorema: Si $R$ es noetheriano (como anillo) entonces todo $R$-módulo finitamente generado es noetheriano.
Teorema: Sean $D$ y $E$ dominios enteros con $D\subset E$ como anillos. Si $D$ es noehteriano y si $E$ es un $D$-módulo finitamente generado, entonces $E$ es noetheriano.