Polinomios

Primos e irreducibles

Dado un anillo $R$ (conmutativo y con uno). decimos que $a$ es un factor de $b$ si $a\mid b$. En el caso de que $e\in R^*$ tenemos que $e\mid a$ para todo $a\in R$ pues $e(e^{-1})a = a$. Así que las unidades son factores de cualquier elemento en el anillo.

Definición: Un elemento $a\in R$ es reducible si podemos factorizar $a=xy$ en donde ninguno $x,y$ es una unidad. En este caso a $x,y$ se le llaman factores propios. Si $a$ no unidad y no es reducible, decimos que $a$ es irreducible.

  1. El cero es redducible.
  2. Una unidad no tiene factores propios
  3. $a$ es irreducible si siempre que $a=xy$ entonces $x\in R^*$ o $y\in R^*$.

Definición: Un elemento $p\in R$ es llamado primo si siempre que $p\mid ab$ entonces tenemos que $p\mid a$ o $p\mid b$.

  1. 2 es irreducible en $\mathbb{Z}$
  2. 2 es irreducible en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. En efecto; supongamos que $2 = (a+b\sqrt{-5})(c+d\sqrt{-5})$ entonces si tomamos su norma al cuadrado tenemos que:
(1)
\begin{equation} 4=(a^2+5b^2)(c^2+5d^2) \end{equation}

y entonces $(a^2+5b^2) = 1,2,4$. Así las posibilidades para las parejas $(a,b)$ son $(\pm 1,0), (\pm 2,0)$ así que $a+b\sqrt{-5} = \pm 1,2$ y lo mismo sucede para $(c,d)$ vemos fácilmente entonces que la factorización se está llevando en $\mathbb{Z}$ lo cuál me dice que forzosamente alguno de los factores es una unidad.

  1. El elemento $7+ \sqrt{-5}$ es reducible, pues tenemos la siguiente factorización:
(2)
\begin{align} 7+\sqrt{-5} = (1+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}). \end{align}
  1. 2 no es primo en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$. En efecto 2 divide al producto $(1+\sqrt{-5}) (1-\sqrt{-5})$ pero no divide a ninguno.
  2. $i$ es primo de los enteros Gaussianos.

Proposición: En cualquier dominio entero $D$, todo primo es irreducible.
En efecto. Sea $p$ primo y supongamos que $p=ab$. Queremos demostrar que alguno de $a,b$ es unidad en $D$. Como $p*1= ab$ entonces $p\mid ab$ y por ser primo tenemos que $p\mid a$ o $p\mid b$. Supongamos sin perdida de generalidad que $p\mid a$, entonces existe $c\in D$ tal que $pc =a$ y entonces $p= pcb$ por lo que $p(1-cb)=0$; como $D$ es dominio entero y $p\ne 0$ concluimos que $1-cb=0$ y entonces $b$ es unidad.

El converso de la proposición anterior no es verdad en general, pero tenemos el siguiente resultado parcial:

Proposición: Sea $D$ un dominio entero que cumple que cada polinomio cuadrático con coeficientes en $D$ que tiene sus raíces en su campo de cocientes $F=Frac(D)$ es producto de polinomios lineales en $D[x]$. Entonces cada irreducible es primo.
En efecto: sea $p$ irreducible y supongamos que $p\mid ab$ en $D$ tenemos entonces que $a/p, b/p \in F$ y el polinomio $px^2-(a+b)x + c =0$ en donde $cp=ab$ tiene exactamente como raíces a $a/p, b/p$. Este polinomio se factoriza como producto de polinomios lineales en $D[x]$ por hipótesis, así que:

(3)
\begin{equation} p(x-a/p)(x-b/p) = x^2-(a+b)x + c = (mx+s)(rx+t), \end{equation}

haciendo el producto vemos que $mr =p$ pero por ser $p$ irreducible tenemos que $m$ o $r$ es una unidad. Supongamos que $r$ es unidad, entonces las raíces en $F$ son $\{-s/m,-t/r\} = \{a/p,b/p\}$ pero como $r\in D^*$ tenemos que $-t/r = -tr^{-1}\in D$ y por lo tanto alguno de $a/p$ o $b/p$ está en $D$, es decir $p\mid a$ o $p\mid b$.

Polinomios en Dominios Enteros

Sea $R$ Anillo y $D$ un dominio entero. Recordemos que el anillo de polinomios con coeficientes en $R$ e indeterminada $x$, denotado por $R[x]$ consiste de las expresiones formales de la forma:

(4)
\begin{align} d_0 + d_1x + d_2x^2 + \cdots+ d_nx^n; \quad d_i \in R \quad \text{y para algún }\quad n \in \mathbb{Z}_{\ge 0} \end{align}

Decimos que el polinomio $f \in R[x]$ tiene grado $n$ si $f = d_0 + d_1x + d_2x^2 + \cdots+ d_nx^n$ con $d_n\ne 0$. Denotampos por $\partial f$ a este numero. Es decir $\partial : R[x] \to \mathbb{Z}_{\ge 0}$ la función grado toma valores polinomiales y regresa enteros no negativos.

Los polinomios $R[x]$ tienen estructura de anillo (conmutativo con uno) con las operaciones usuales de suma y producto de polinomios. Tenemos una inyección canónica $\varepsilon: R\to R[x], d\mapsto dx^0 = d$, viendo a los elementos de $R$ como polinomios de grado cero. Así identificaremos a $R$ como un subanillo de $R[X]$ (los elementos de grado cero).

Nota: Observemos que dos polinomios son iguales$\sum a_ix^i = \sum b_jx^j$ si y sólo si (tienen el mismo grado y) $a_i -b_i$ para todo $i$.

Consideremos ahora a un subanillo $S\subset R$. Sea $f = s_0+s_1x+\ldots + s^nx^n \in S[x]$ podemos construir la función:

(5)
\begin{align} f_R: R \to R; \quad r\mapsto s_0 + s_1r + \ldots+ s_nr^n \end{align}

que nos da una función del anillo de polinomios $S[x]$ a las funciones de $R\to R$.

Si ahora consideramos un elemento $b\in R$ podemos considerar la función evaluación:

(6)
\begin{align} ev_b: S[x] \to R; \quad ev_b(f) =f_R(b) \end{align}

que resulta ser un homomorfismo de anillos llamado el morfismo de evaluación.

Sea ahora $r\in R$ El subanillo $S[r]$ generado por $r$ sobre $S$ es el anillo de de todos los valores de polinomios $f(r)$ para $f\in S[x]$.

Definición: Si el morfismo de evaluación $f\mapsto f(r)$ es un isomorfismo entre $S[x]$ y $S[r]$ decimos que $r$ es trascendente sobre $S$ o que $r$ es una variable sobre $S$.

Ejemplo:

  • Si $\alpha=\sqrt 2$, entonces $\mathbb Z[\alpha] \subset \mathbb{R}$ no es isomorfo a $\mathbb{Z}[x]$. En particular podemos ver que el polinomio $x^2-2$ está en el núcleo del morfismo evaluación (y por lo tanto no es un isomorfismo).
  • $\pi, e \in \mathbb{R}$ son trascendentes sobre $\mathbb{Q}$.
  • Sea $p$ un número primo, y sea $F$ el campo finito con $p$ elementos. Sea $f(x) =x^p-x \in F[x]$. Tenemos que $f$ no es el polinomio cero, sin embargo $f_K:K\to K$ es la función cero.

Hay otro morfismo de anillos que resulta ser interesante. Sea $\phi: R \to R'$ un homomorfismo de anillos. Entonces este induce un homomorfismo de sus respectivos anillos de polinomios:

(7)
\begin{align} \phi: R[x] \to R'[x]; \quad \sum a_ix^i \mapsto \sum \phi(a_i)x^i \end{align}

es fácil verificar (ejercicio) que este es en efecto un homomorfismo de anillos. El morfismo inducido se llama la reducción.

  • Consideremos por ejemplo el morfismo de reducción $\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/p \mathbb{Z}$. Su morfismo inducido de reducción en los polinomios reduce cada coeficiente módulo $p$.
  • Por otro lado la conjugación compleja $\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ induce un morfismo en el anillo de polinomios $\mathbb{C}[x]$ que conjuga a cada uno de los coeficientes.

Podemos combinar al morfismo de evaluación con el morfismo de reducción. Dado un morfismo de anillos $\phi: A \to B$ sea $b\in B$, Existe un único homomorfismo que extiende a $\phi$ $A[x]\to B$ tal que $x\mapsto b$ y para este homomorfismo se tiene que $\sum a_i x^i \mapsto \sum \phi(a_i)b^i$.

Definición: Si un polinomio $f(x) = \sum_{i=1^n} a_ix^i$ es tal que $a_n\ne 0$ entonces definimos el grado de $f$ como $n$ y lo denotamos por $deg(f)$ o $\partial(f)$. Si $f=0$ es el polinomio cero decimos que este tiene grado $-\infty$ y convenimos que

(8)
\begin{align} -\infty + -\infty = -\infty; \quad -\infty + n = -\infty; \quad -\infty < n, \end{align}

para todo $n\in \mathbb{Z}$. A $a_n$ lo llamamos el termino principal de $f$ y a $a_0$ el término constante.

Proposición: Si $f,g \in R[x]$ y alguno de los términos principales de $f$ o $g$ no es un divisor de cero, entonces:

(9)
\begin{equation} deg(fg) = deg(f) + deg(g) \end{equation}

Corolario: Si $R$ es un dominio entero, entonces $R[x]$ es dominio entero.

Proposición: Para cuales quiera dos polinomios $f,g \in R[x]$ se tiene que:

(10)
\begin{align} deg(f+g) \leq max(deg f, deg g). \end{align}

Más aún, se cumple lo siguiente:

  1. $\partial fg= \partial f + \partial g$. En particular si $f\mid g$ entonces $\partial f \leq \partial g$.
  2. $\partial f = 0 \iff f\in D$
  3. $D[x]$ es un dominio entero.
  4. $D[x]$ es un anillo graduado (graduado por la función grado).
  5. Notar que no todas las constantes son unidades, por lo tanto tengo factorizaciones no triviales como por ejemplo $6x^2 + 3 = 3(2x^2 + 1)$ en $\mathbb{Z}[x]$.

Factorización de Polinomios

Sea $K$ un campo y sea $R= K[x]$ el anillo de polinomios con coeficientes en el coampo $K$.

Lema: Todo polinomio no constante es el producto de polinomios irreducibles.

Demostración: Hagamos la prueba por inducción en el grado del polinomio.

  1. Si $grad\, f =1$ entonces $f$ es irrducible.
  2. Supongamos que si $k < n$ entonces todo polinomio de grado $k$ es producto de irreducibles.

Sea entonces $f$ un polinomio de grado $n$. Si $f$ es irreducible entonces $f$ es producto de irreducibles, de lo contrario $f$ es reducible y existen polinomios $p,q$ tales que $f=pq$ con $p,q$ no unidades. Como $n = grad\, f = grad\, p + grad\, q$ tenemos que $0< grad\, p, grad, q < n$ por lo tanto tanto $p$ como $q$ son producto de irreducibles, pero entonces $f$ es producto de irreducibles. $\blacksquare$

Definición: Para cualquier anillo $R$ decimos que un polinomio $f\in R[x]$ es mónico si su coeficiente principal es 1.
Notemos que todo polinomio (en un campo) es múltiplo constante de un polinomio mónico.

Definición: Sea $p \in K[x]$ un polinomio mónico irreducible. Para cualquieir $f\in K[x]$ definimos el orden de $p$ en $f$ como $ord_p\. f$ como el entero $a\in \mathbb{Z}$ que cumple que $p^a \mid f$ pero $p^{a+1}\not\mid f$. Notemos que $ord_p\, f = 0$ si, y sólo si $p\not\mid f$.

Teorema: Sea $f \in K[x]$. Entonces podemos escribir:

(11)
\begin{align} f = c \prod_p p^{a_p}; \quad c \in K; \ a_p := ord_p\, f \end{align}

La constante $c$ y los exponentes $a_p$ estan unicamente determinados por $f$.

Demostración: La demostración de la existencia es inmediata, para demostrar la unicidad necesitamos primero demostrar que los anillos de polinomios sobre un campo son de factorización única. Así que dejamos para un poco más adelante la prueba.

Lema: (Algoritmo de la división). Sea $f,g \in K[x]$. Si $g \ne 0$, existen polinomios $h,r \in K[x]$ tal que $f = hg + r$, con $r=0$ o $grad\, r < grad\, g$.

Lema: Dados $f,g\in K[x]$ entonces el ideal $(f,g)= (d)$. De hecho cualquier ideal $I\subset K[x]$ es principal. Si $I$ es generado por un conjunto $S\subset K[x]$ entonces decimos que el generador mónico $d$ del ideal $I$ es el máximo conmún divisor del conjunto $S$.

Notemos que el máximo común divisor de $S$ divide a todo divisor común de los elementos de $S$.

Definición: Dos polinomios son primos relativos si $(f,g) = (1)$.

Proposición: Si $f,g$ son primos relativos y $f\mid gh$ entonces $f\mid h$.

Corolario:: Si $p$ es irreducible y $p\mid fg$ entonces $p\mid f$ o $p\mid g$.

Corolario:: Si $p$ es mónico irreducible entoonces $ord_p (fg) = ord_p(f) + ord_p(g)$

Ahora sí la demostración del teorema se sigue.

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