Problema 2.10.

Problema 2.10. Muestra que $\sqrt2+\sqrt3$ es un entero algebraico. Es decir que es el cero de un polinomio mónico con coeficientes en $\mathbb{Z}$.

Demostración: Notemos que

(1)
\begin{align} (\sqrt{2} + \sqrt{3})^4 - 10 (\sqrt{2} + \sqrt{3})^2 + 1 = (5 + 2\sqrt{6})^2 - 10 (5 +2 \sqrt{6}) + 1 = (25 + 20 \sqrt{6} + 24) - 50 - 20 \sqrt{6} + 1 = 50 - 50 + 2\sqrt{6} - 2 \sqrt{6} = 0 \end{align}

Entonces $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ es cero del polinomio $x^4 - 10 x^2 + 1 \in \mathbb Z[x]$. Es decir $\sqrt 2 + \sqrt 3$ es un entero algebraico $\blacksquare$

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