Problema 2.11.

Problema 2.11. Sea $\alpha$ un número algebraico sobre $\mathbb{Q}$. Demuestra que existe un natural $n$, tal que $n \alpha$ es un entero algebraico.

Demostración: Como $\alpha$ es un número algebraico sobre $\mathbb{Q}$, existe un polinomio $f \in \mathbb Q[x]$.

Si $f = \frac {p_0}{q_0} + \frac{p_1}{q_1}x + ... + \frac{p_n}{q_n}x^n$ con $p_1, ..., p_n, q_1, ... , q_m \in \mathbb Z$

Entonces $\frac{p_0}{q_0}+ \frac{p_1}{q_1} \alpha + ... + \frac{p_m}{q_m}\alpha^n = 0$. Sea $q = q_0 q_1...q_m$.

Sea $g(x) = q f(x)$ o $g(x) = -qf(x)$ de tal manera que el monomio principal tenga constante positiva. Como $q\frac{p_i}{q_i} \in \mathbb Z$ para $i = 0, ..., m$ tenemos que $g(x) \in \mathbb Z$ y justamente $g(\alpha) = q f(\alpha) = 0q = 0$

Sea $a_i = q \frac{p_i}{q_i}$ para $i = 1,2,... m$. $g(x) = a_0 + a_1 x + ... + a_m x^m$

Entonces $a_0 + a_1 \alpha + a_1 \alpha^2 + ... + a_m \alpha^m= 0$
Multiplicando por $(a_m^{m-1})$ tenemos

(1)
\begin{align} a_m^{m-1}a_0 + a_1a_m^{m-2}(a_m\alpha) + a_2a_m^{m-3}(a_m^{2}\alpha^2) + ... + a_m^m\alpha^{m} = 0 \end{align}

Sea $h(x) = b_0 + b_1x + ... + b_{m -1} x^{m - 1} + x^m$ donde $b_i = a_m^{m-1 - i}a_i$ para $i = 0,1, 2, ..., m - 1$. Justamente por (1) tenemos que $a_m\alpha$ es cero de $h \in \mathbb Z[x]$. Como $h$ es mónico, y como construimos $g$ de tal manera que $a_m$ es un entero positivo, basta tomarse $n = a_m$ y se satisface que $n \alpha$ es un entero algebraico $\blacksquare$

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