Pproblema 2.13.

Problema 2.13. Muestra que el polinomio mínimo de $\sqrt[3]2$ es $x^3-2$.

Demostración: Sea $f$ el polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}$. Notemos que $(\sqrt[3]{2})^3 - 2 =0$ por lo que $f (x) \mid x^3 - 2$, también tenemos que $x - \sqrt[3]{2} \mid f$.

$x^3 - 2 = (x - \sqrt[3]{2})(x - (- \sqrt[3]{-2}))(x - (-1)^{2/3} 2^{1/3})$

Entonces, los únicos candidatos a polinomio mínimo son:

$(x - \sqrt[3]{2})$
$(x - \sqrt[3]{2})(x - (- \sqrt[3]{-2}))$
$(x - \sqrt[3]{2})(x - (-1)^{2/3} 2^{1/3})$
$(x - \sqrt[3]{2})(x - (- \sqrt[3]{-2}))(x - (-1)^{2/3} 2^{1/3})$

Notemos que los términos constantes respectivos son:

$\sqrt[3]{2}$
$-(-1)^{1/3} 2^{2/3}$
$(-2)^{2/3}$
$2$

Podemos ver explicitamente que los primeros tres polinomios que dimos tienen como término constante un número no racional, por lo tanto el polinomio mínimo de $\sqrt[3]{2}$ es $x^3 - 2 \blacksquare$


*Nota de Rogelio:* Tú demostración está bien, sin embargo te sugiero considerar lo siguiente para tener una demostración un poco más conceptual:

  1. Ver que $\alpha= \sqrt[3]{2}$ es cero de $x^3-2$ (ya lo has hecho).
  2. Demostrar que $x^3-2$ es irreducible sobre $\mathbb{Q}$. Para esto nota que cualquier factorización en no unidades debería tener un factor de grado uno. Por lo tanto una raíz racional
  3. Demustra que $\sqrt[3]2$ no es racional.
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