Problema 2.17.

Problema 2.17. Encuentra un complejo $\theta\in \mathbb{C}$ tal que $\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3, i) = \mathbb{Q}(\theta)$. Justifica la igualdad.

Demostración:

Primero veremos que $\mathbb Q (\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb Q(\sqrt 2 + \sqrt 3)$

Veamos que los polinomios $f_1(x) = x^2 - 2$ y $f_2(x) = x^2 - 3$ anulan a $\sqrt 2$ y a $\sqrt 3$ respectivamente.

Ahora, veamos que la otra raíz de $f_1$ es $-\sqrt{2}$ y la otra raíz de $f_2$ es $- \sqrt{3}$, y claramente $\sqrt{2} + \sqrt{3} \neq -\sqrt{2} - \sqrt{3}$, es decir $\sqrt 2 + \sqrt 3 \neq r + s$ para todas la raíces $r$ de $f_1$ y $s$ de $f_2$, en particular, como el polinomio mínimo de $\sqrt 2$ divide a $f_1$ y el polinomio mínimo de $\sqrt 3$ divide a $f_2$, entonces esa inecuación se satisface en particular para las $r$ raíces del polinomio anulador de $\sqrt{2}$ y $s$ raíces del polinomio anulador de $\sqrt{3}$

Por lo tanto, por el criterio que vimos en la demostración del Teorema 2.0, ya que $\mathbb Q$ tiene característica $0$

$\mathbb Q(\sqrt{2}, \sqrt{3}) = \mathbb Q(\sqrt 2+ \sqrt 3)$.

Ahora, veamos que los polinomios $g_1 = x^4 - 10x^2 + 1$ y $g_2 = x^2 + 1$ anulan a $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ y a $i$ respectivamente, y de hecho es fácil verificar que todas las raíces de $g_1$ pertenecen a los reales (de hecho son: $-\sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}, \sqrt{5 - 2 \sqrt{6}}, -\sqrt{ 5 + 2 \sqrt{6}}, \sqrt{5 + 2 \sqrt{6}}$ )

Y de $g_2$ su otra raíz es $-i$.

Notemos que $\sqrt{2} +\sqrt{3} + i \neq r - i$ para toda $r$ raiz de $g_1$, puesto que como $r \in \mathbb R$ basta con notar que la parte imaginaria de $\sqrt{2}+ \sqrt{3} + i$ es justamente $1$, pero la parte imaginaria de $r - i$ es $-1$.

Entonces de ahí tenemos que $\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3, i) = \mathbb {Q}(\sqrt 2 + \sqrt 3 + i)$, por lo tanto basta con tomarse $\theta = \sqrt 2 + \sqrt 3 + i$

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