Problema 1.10.

Problema 1.10. Supongamos que $\pi \in \mathbb{Z}[i]$ y que $N(\pi) = p$ para un número primo $p\in \mathbb{Z}$. Muestra que $\pi$ es primo en $\mathbb{Z}[i]$. Muestra y da un resultado análogo para los anillos $\mathbb{Z}[\omega]$ y $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.

Demostración: Procederemos por contradicción, supongamos que $\pi$ no es primo gaussiano, como $\mathbb Z[i]$ es euclideano, esto implica que $\pi$ no es irreducible.

Entonces, existen $\alpha, \beta \in \mathbb Z[i]$ no unidades, tales que $\pi = \alpha \beta$. Aplicando la función norma de $\mathbb Z[i]$ tenemos

$p = N(\pi) = N(\alpha \beta)$, como la norma es separable entonces:
$p = N(\alpha) N(\beta)$

Como todo entero tiene factorización única salvo signo (unidades) entonces, alguno de los dos factores debe ser $\pm p$, supongamos sin pérdida de generalidad que $N(\alpha) = p$. Es positivo porque las normas son mayores que cero entonces $p = N(\pi) > 0$ y $N(\alpha) > 0$.

Luego, $N(\beta) = 1$ lo cual implica que $\beta$ es unidad. Esto es una contradicción pues nos tomamos $\beta$ no unidad.

Por lo tanto $\pi$ es irreducible en $\mathbb Z[i]$, entonces es primo $\mathbb Z[i] \blacksquare$

Podemos dar un resultado análogo para $\mathbb Z[\omega]$ y para $\mathbb Z[\sqrt{-2}]$, si tenemos $x \in \mathbb Z[\omega]$ y $y \in \mathbb Z[\sqrt{-2}]$ tales que $N(x), N(y)$ son primos en $\mathbb Z$ entonces $x, y$ son irreducibles en sus respectivos anillos.

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