Problema 1.11.

Problema 1.11Sea $p\in \mathbb{Z}$ un número primo. Denotemos por $\mathbb{Z}_{(p)}$ al subconjunto de $\mathbb{Q}$ de números de la forma $\frac ab$ tal que $ord_p(b)=0$. Muestra que $\mathbb{Z}_{(p)}$ es un subanillo de $\mathbb{Q}$. Determina al conjunto de unidades de $\mathbb{Z}_{(p)}$. Determina qué elementos son primos. Demuestra que si $\frac ab$ no es unidad, entonces $\frac ab +1$ es unidad en este anillo.

Solución:
Nota:Usaremos la notación $a \mid b$ para denotar que $a$ divide a $b$ en $\mathbb Z_{(p)}$

Verificaremos que $\mathbb Z_{(p)}$ es un anillo

Notemos que $1 = \frac 1 1, \ 0 = \frac 0 1$ y $ord_p(1)$ = 0

Ahora, verificaremos es cerrado bajo la suma heredada de $\mathbb Q$

Sean $\frac a b, \frac c d \in \mathbb Z_{(p)}$
$\frac a b + \frac c d = \frac {ad + bc}{bd}$ pero como $p$ es primo y no divide en los enteros a $b$ ni a $d$, entonces $p$ no divide a $bd$, es decir $ord_p(bd)= 0$. Por lo tanto $\frac a b + \frac c d \in \mathbb Z_{(p)}$

Por lo que $\mathbb Z_{(p)}$ es subanillo de $\mathbb Q$

Ahora demostraremos que $\mathbb Z_{(p)}^* = \{ \frac a b \in \mathbb Q: ord_p(a)= ord_p(b)= 0 \}$

Sea $\frac u v \in \mathbb Z_{(p)}$ una unidad. Por ser unidad su inverso multiplicativo en $\mathbb Q$, $\frac v u$, está en $\mathbb Z_{(p)}$. Por lo cual $ord_p(v) = 0$ de donde es claro que

(1)
\begin{align} \mathbb Z_{(p)}^* \subset \{ \frac a b \in \mathbb Q: ord_p(a)= ord_p(b)= 0 \} \end{align}

Ahora, sea $\frac u v \in \mathbb Z_{(p)}$ tal que $ord_p(u) = 0$
Entonces por definición de $\frac v u \in \mathbb Z_{(b)}$. Lo cual deja demostrado que

(2)
\begin{align} \mathbb Z_{(p)}^* = \{ \frac a b \in \mathbb Q: ord_p(a)= ord_p(b)= 0 \} \end{align}

Ahora veremos como son los primos.

Todo elemento de este anillo es de la forma $\frac{p^\alpha a}{b}$ donde $mcd(a,p) = mcd(b,p) = 1$.

Veremos que cuando son de la forma $\frac {pa}{b}$ son primos en $\mathbb {Z}_{(p)}$, para eso basta ver que $p$ es primo en $\mathbb Z_{(p)}$ puesto que $\frac{pa}{b}$ es asociado con $p$.

Supongamos que $p$ divide a $\frac{p^\beta x}{y}\frac {p^\gamma m}{n}$.

Entonces $p \mid \frac{p^\beta x}{y} \frac{p^\gamma m}{n} \frac{ny}{xm}$ puesto que claramente $\frac{ny}{mx}$ es unidad.

Por lo que $p \mid p^{\beta} p^\gamma$

Entonces existe $\frac{p^\delta c}{d}$ tal que $p \frac{p^\delta c}{d} = p^\beta p^\gamma$

Luego $p^{\delta + 1} = p^\beta p^\gamma d$

$p$ divide a $p^\beta p^\gamma d$ en los enteros y $mcd(d, p ) = 1$, y por ser primo en los enteros entonces $p$ divide a $p ^\beta$ o a $p^\gamma$ en los enteros, supongamos sin pérdida de generalidad que $p$ divide en los enteros a $p^\beta$, entonces existe un entero $k$ tal que $pk = p^\beta$ (de hecho $k = p^{\beta - 1}$).

Luego como $k = \frac k 1 \in \mathbb Z_{(p)}$ y se cumple que $pk = p^\beta$ ocurre que de hecho $p \mid p^\beta$, pero entonces $p \mid \frac{p^\beta x}{y}$ pues $\frac{x}{y}$ es unidad.

Claramente los primos no pueden ser de la forma $\frac{p^0 a}{b}$ con $mcd(a,p) = mcd(b,p) = 1$ porque serían unidades. Veremos ahora que no pueden ser de la forma $\frac{p^\alpha a}{b}$ con $\alpha \geq 2$.

Puesto que claramente $p^\alpha = p^{\alpha-1} p$ como $\alpha > 2$ entonces $p^{\alpha -1}$ no es unidad, entonces $p^\alpha$ es producto de dos no unidades por lo tanto no puede ser irreducible, entonces no es primo.

Por lo tanto todos los primos de $\mathbb Z_{(p)}$ son los elementos de la forma $\frac{p a}{b}$

Ahora veremos que si $\frac ab$ no es unidad entonces $\frac{a}{b} +1$ es unidad.

Supongamos que $\frac{a}{b}$ no es unidad. Veamos que $\frac a b + 1 = \frac{a + b}{b}$ que claramente está en $\mathbb Z_{(p)}$, sólo hay que comprobar que $p$ no divide en los enteros a $a + b$.

Como $\frac{a}{b}$ no es unidad entonces $a = p a'$. Y $mcd(a+b, p)= mcd(pa' + b, p) = mcd(b,p) = 1$. Por lo tanto $\frac{a}{b} +1$ es unidad $\blacksquare$

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