Problema 1.3.

Problema 1.3.Sean $a,b \in \mathbb{Z}$ y $P\subset Spec(\mathbb{Z})\setminus \{(0)\}$. Definimos $ord_P: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\cup \left\{ \infty \right\}$ tal que $ord_P(a) = n$ si, y sólo si $a\in P^n$ pero $a\notin P^{n+1}$, notar que entonces $ord_P(0) = \infty$ . Demuestra que $ord_P(a+b) \ge \min(ord_P(a), ord_P(b))$ con igualdad si $ord_P(a) \ne ord_P(b)$.

Demostración:

Dado que $P \subset Spec(\mathbb Z)$. Como $\mathbb Z$ es de ideales principales $P = (p)$, pero como aparte es ideal primo, entonces $p$ es primo.

Sea $x \in \mathbb Z$, demostraremos que $ord_{(p)}(x) = ord_p(x)$. Digamos que $ord_(p)(x) = n$. Entonces, $x \in (p)^n \ \wedge \ x \notin (p)^{n+1}$ Entonces, $p^n \mid x$ y $p^{n+1} \nmid x$, es decir, $ord_p(x) = n = ord_{(p)}(x)$.

Ahora, digamos que $a = p^\alpha a', \ b = p^\beta b'$ donde $ord_p(a)= \alpha, \ ord_p(b)= \beta$. Claramente $mcd(p,a') = mcd(p, b') = 1$.

Si $\alpha > \beta$ entonces $a+ b = p^{\beta}(p^{\alpha - \beta}a' + b')$ por lo que $p^\beta \mid (a+b)$.

Demostraremos que $p^{\beta + 1} \nmid a + b$. Procederemos por contradicción.

$p^{\beta +1} \mid p^\beta (p^{\alpha - \beta}a' + b')$
$\Rightarrow p \mid p^{\alpha - \beta}a' + b'$
$\Rightarrow p \mid b'$ Lo cual es una contradicción pues $mcd(p, b') = 1$.

Por lo que $ord_p(a+b) = \beta$. Análogamente si $\beta > \alpha$ entonces $ord_p(a + b) = \alpha$

Lo cual nos dice que si $ord_p(a) \neq ord_p(b)$ entonces $ord_P(a + b) = \min(ord_P(a), ord_P(b))$.

Veremos el caso donde $\alpha = \beta$

$a + b = p^\alpha(a'+ b')$, entonces $p^\alpha \mid a + b$.

De lo cual tenemos que $ord_P(a + b) \geq \alpha = min(\alpha, \alpha) = \min(ord_P(a), ord_P(b)) \blacksquare$

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