Problema 1 4

Problema 1.4 Resuelve los ejercicios anteriores cambiando al anillo $\mathbb{Z}$ por el anillo de polinomios $K[x]$ para $K$ un campo.

1.4.1Sean $f, g, h \in K[x]$ la ecuación $fx +gx = h$ tiene solución si y sólo si $h \in (f,g)$.

Demostración:La demostración es completamente análoga a la del Problema 1.1

1.4.2 Sean $f, k \in K[x]$, prueba que $k \in (a, a+k)$.

Demostración: La demostración es completamente análoga a la del Problema 1.2

1.4.3 Sean $a,b \in K[x]$ y $P\subset Spec(K[x])\setminus \{(0)\}$. Definimos $ord_P: K[x] \to K[x] \cup \left\{ \infty \right\}$ tal que $ord_P(a) = n$ si, y sólo si $a\in P^n$ pero $a\notin P^{n+1}$, notar que entonces $ord_P(0) = \infty$ . Demuestra que $ord_P(a+b) \ge \min(ord_P(a), ord_P(b))$ con igualdad si $ord_P(a) \ne ord_P(b)$.

Demostración: Como $K[x]$ es de ideales al igual que $\mathbb Z$ se puede dar una demostración completamente análoga a la del Problema 1.3

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