Problema 1.5.

Problema 1.5. Supogamos que $a^2+b^2=c^2$ con $a,b.c\in \mathbb{Z}$ con $(a,b)=(a,c) = (b,c) = \mathbb{Z}$. Demuestra entonces que existen enteros $u,v$ tales que $(u,v)=\mathbb{Z}$ y $c-b = 2u^2$, $c+b = 2v^2$ (No hay pérdida de generalidad en suponer que $b,c$ son impares y que $a$ es par. En consecuencia deduce que $a=2uv, b= v^2-u^2$, y $c = u^2+ v^2$. Conversamente muestra que si $u,v$ son dados, entonces los tres números $a,b,c$ dados por las fórmulas anteriores satisfacen que $a^2+b^2 = c^2$.

Demostración:

(Caso 1) $a \geq 0$:

$a^2 + b^2 = c^2$
Entonces, $a^2 = c^2 - b^2 = (c + b)( c - b)$

Veremos que $mcd(c + b, c- b) = 2$

Sea $mcd(c+b, c-b) = d$ tal que $d \mid (c + b) \ \wedge \ d \mid (c- b)$

Entonces $d \mid (c+b) + (c-b) = 2c \ \wedge \ d \mid 2b$
Entonces $d \mid mcd(2c, 2b) = 2 mcd(c, b) = 2$ pues $mcd(c,b) = 1$.

Como $d \mid 2$ y $d$ es positivo, entonces, sólo puede ser $d = 1$ o $d = 2$, pero $c, b$ son impares por lo cual $c+ b, c-d$ son pares

$\therefore mcd(c+ b, c-d) = 2$

Luego, $\frac {a^2}{4} = \frac{c + b}{2} \frac{c - b}{2}$ donde $mcd(\frac{c+b}{2}, \frac{c - b}{2}) = 1$

Como $\frac {a^2}{4}$ es un cuadrado, se tiene $\frac{c + b}{2} = v^2$ y $\frac{c - b}{2} = u^2$ para algunos $v, u \in \mathbb Z$.

De ahí tenemos directamente que $c + b = 2v^2$ y $c- b = 2u^2$

Sumando ambas identidades tenemos:

$2c = 2v^2 + 2u^2$
Entonces $c = v^2 + u^2$

Y restando la segunda identidad a la primera, tenemos:

$2b = 2v^2 - 2u^2$
Entonces $b = v^2 - u^2$

Luego, como $\frac{a^2}{4} = \frac{c+b}{2} \frac{c -b}{2} = u^2v^2$

$a^2 = 4u^2v^2$

Sacando raíz cuadrada $a = |a| = 2uv$

(Caso 2) si $a < 0$:

Consideremos la ecuación $(-a)^2 + b^2= c^2$

Por el caso anterior como $-a \geq 0$, existen enteros $u, v$ tales que:

$|-a| = a = 2uv$, $b = v^2 - u^2$ y $c = v^2 + u^2$.

Ahora, demostraremos que dados $u, v \in \mathbb Z$ y $a = 2uv, b = v^2 - u^2 \ \wedge \ c = v^2 + u^2$ entonces se satisface $a^2 + b^2 = c^2$.

$a^2 + b^2 = (2uv)^2 + (v^2 - u^2)^2 = 4^2v^2 + v^4 -2v^2u^2 + u^4 = v^4 +2u^2v^2 + u^4 = (v^2 + u^2)^2 = c^2 \blacksquare$

Si no se indica lo contrario, el contenido de esta página se ofrece bajo Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License