Problema 1.7.

Problema 1.7 Para $\alpha= a + bi \in \mathbb{Z}[i]$, definimos $N(\alpha) = a^2+b^2$. Demuestra que $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$ y deduce entonces que $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2$.

Demostración:

Sean $\alpha = a + bi$ , $\beta = c + di$ con $a,b,c,d \in \mathbb Z$ entonces:

$\alpha \beta = (a+bi)(c+di)=(ac -bd) + (ad + bc)i$.

Luego, veamos que

(1)
\begin{align} N(\alpha)N(\beta) = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2) = a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 = (ac)^2 + (bd)^2 +(bc)^2 + (ad)^2+ 2abcd -2abcd = (ac - bd)^2 + (ad + bc)^2 = N(\alpha \beta) \end{align}

De esta misma demostración sale que $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2 \blacksquare$

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