Problema 1.8.

Problema 1.8 Muestra que $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$ es una unidad si, y sólo si $N(\alpha) = 1$. De esto deduce que las únicas unidades de los enteros Gaussianos son $\pm 1, \pm i$.

Demostración:

Sea $z = a+ bi \in \mathbb Z[i] \subset \mathbb C$. Veamos que $z \overline z = |z|^2$.

Entonces $z^{-1} = \frac{\overline z}{|z|^2}$ donde $z^{-1}$ es el inverso multiplicativo en ${\mathbb C}$. Por la unicidad de los inversos $z^{-1}$ es el único complejo tal que $z*z^{-1} = z^{-1}z = 1$, por lo cual $z \in \mathbb Z[i]^*$ si y sólo si $\frac{\overline z}{|z|^2} \in Z[i]$

$\Rightarrow )$ Supongamos que $z$ es unidad. Entonces

(1)
\begin{align} \frac{\overline z}{|z|^2} = \frac{a - bi}{a^2 + b^2} \in \mathbb Z[i] \end{align}

Entonces $(a^2 + b^2) \ | \ a \ \wedge \ (a^2+ b^2) \ | \ b$

Luego

(2)
\begin{align} a^2 + b^2 \leq a \ \wedge \ a^2 + b^2 \leq b \end{align}

Pero si $|a| > 1 \vee |b| > 1$ entonces $a^2+b^2 \geq |a|^2 > |a| \geq a \ \vee \ a^2 + b^2 \geq b^2 >|b| \geq b$, lo cual claramente no puede ocurrir por (2).

Por lo tanto $|a|,|b| \leq 1$

Si $|a| = 1 \wedge |b|= 1$ entonces $2 \ | \ \pm1$, que no puede pasar.

Supongamos sin pérdida de generalidad que $a \leq b$, Tenemos los siguientes casos:

Caso 1: $a = -1, b = 0$ : $a^2 + b^2 = (-1)^2 + 0^2 = 1 \ | \ -1 \ \wedge \ 1 \ | \ 0$
Caso 2: $a = 0, b = 1$ : $a^2 + b^2 = 0^2 + 1^2 = 1 \ | \ 0 \ \wedge \ 1 \ | \ 1$

Es decir, $z$ es unidad si y sólo si es de alguna de las siguientes formas: $1+0i, \ -1+0i, \ 0 + 1i, \ 0 -1i$ y es claro que en cualquiera de estos casos $N(z) = 1$

$\Rightarrow )$ Supongamos que $N(z) = 1$. Entonces $a^2 + b^2 = 1$

Si $|a|, |b| \geq 1$ entonces $1 = N(z) = a^2 + b^2 \geq 1 + 1 = 2$, lo cual no puede ocurrir.

Por lo cual tenemos que $(a,b)$ sólo puede ser: $(0,1), (0, -1), (1, 0), (-1, 0)$ y clara. Es decir todos los $z$ de norma $1$ son $\pm i, \pm 1$ los cuales ya sabemos que son unidades $\blacksquare$

Que las únicas unidades de $\mathbb Z [i]$ son $\pm i, \pm 1$ se vio en la demostración.

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