Problema 1.9.

Problema 1.9 Muestra que $3$ es divisible por $(1-\omega)^2 \in \mathbb{Z}[\omega]$ para $\omega = e^{2\pi i /3}$. Definimos $N(\alpha) = a^2-ab+b^2$ para $\alpha= a + b \omega \in \mathbb{Z}[\omega].$ Muestra que $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]^*$ si, y sólo si $N(\alpha) = 1$. Encuentra a todas las unidades de $\mathbb{Z}[\omega]$.

Vemos que $\omega$ es solución de la ecuación $x^3 = 1$ puesto que es de la forma $(1)^{\frac 1n }e^{\frac{0 + 2k\pi}{3}}$ y claramente $\omega \neq 1$. Entonces, también es solución de la ecuación $x^2 + x +1 = 0$.

Ahora, veamos que $\omega \overline \omega = |\omega| = 1$ pero también $\omega^3 = \omega \omega^2 = 1$. Por lo tanto $\overline \omega = \omega^2$.

Probaremos que $(\omega + 1)(1- \omega)^2=-\omega^2(1-\omega)^2=-\overline \omega (1-\omega)^2 = -\overline \omega (1 - 2\omega + \omega^2) = -\overline \omega + 2 - \omega = -\omega^2 - \omega - 1 +3 = 0+3 = 3.$

Por lo cual $3$ es divisible por $(1 - \omega)^2$.

Demostraremos ahora que $a + b\omega$ es unidad si y sólo si $N(a + b\omega) = 1$. Sea $z = $a + b\omega$ una unidad.

La siguiente identidad se cumple por ser un elemento complejo: $(a + b \omega)\frac{\overline{(a + b \omega})}{(a+b\omega)\overline{(a + b\omega)}} = 1$.

Es decir, es unidad sí y sólo si $\frac{\overline {(a + b\omega)}}{(a + b\omega)\overline{(a + b\omega)}} = \frac{a + b\overline \omega}{(a + \omega b)\overline{(a + \overline\omega b)}} = \frac{a + b \omega^2}{(a + b\omega)(a + b\omega^2)} = \frac{a+b(-\omega - 1)}{(a + b \omega)(a - b\omega -b)} = \frac{a-b -b\omega}{a^2 -ab\omega - ab + ab \omega - b^2\omega^2 - b^2\omega}= \frac{a-b - b\omega}{a^2 - ab - b^2(-\omega^2 - 1)- b^2\omega} = \frac{a - b -b\omega }{a^2 - ab + b^2}$ Está en $\mathbb Z[\omega]$

Como $a + b\omega$ es unidad, entonces $a^2 - ab + b^2 \mid a-b \ \wedge \ a^2 -ab + b^2 \mid -b$.
Entonces $N(z)=a^2 -ab + b^2 \mid a \ \wedge \ a^2 -ab + b^2 \mid b$.

Demostraremos que si $N(z) \mid a \wedge N(z) \mid b$ entonces $N(z) = 1$. Consideremos el caso en el que $|a| > |b|$.

Luego si $a \neq 0$, tenemos: $0 <|a^2|- |ab| \leq a^2 -ab$ pues $|ab| \geq ab$.

Entonces $a^2 -ab + b^2 > b^2 \geq b$ lo cual no puede ocurrir, pues $a^2 -ab + b^2 \mid b$. Análogamente no puede ocurrir que $|b| >|a|$ cuando $b \neq 0$.

En el caso en el que $|a| = |b|$ y ninguno es cero, tenemos que o bien $b = a$ o $b = -a$. En el primer caso obtenemos $a^2 \mid a$ entonces $a \mid 1$, por lo que $a$ claramente solo puede ser $1, -1$. Y en el otro caso tenemos $3a^2 \mid a$, entonces $3a \mid 1$ lo cual no ocurre para ningún a.

Si $a = 0$ entonces $b^2 \mid b$ nuevamente tenemos que $b$ sólo puede ser $1, -1$, análogamente si $b = 0$ entonces $a$ es $1$ o $-1$.

Por lo tanto todas las parejas $(a, b)$ que satisfacen que $N(a + b\omega) \mid a \wedge N(a + b\omega) \mid b$ son: $(1,1), (-1, -1), (0,1), (0, -1), (1,0), (-1, 0)$ Es decir, todas las unidades son $1 + \omega, -1 - \omega, \omega, -\omega, 1, -1$ y es fácil ver que todas tienen norma $1$.

Ahora supongamos que $N(z) = 1$, entonces $a^2 -ab + b^2 = 1$. Nuevamente, si $|a| \geq |b|$. obtenemos que $N(z) \geq b^2$ si tenemos $|b| \geq 2$ tendríamos que $1 = N(z) \geq 4$, claramente no puede ocurrir por lo tanto en este caso $b$ puede ser $0, 1, -1$

Si $b = 0$, entonces $a^2 = 1$, esto implica $a$ puede ser $1, -1$. Verificamos que $1^2 - 0 + 0 = (-1)^2 - 0 + 0 = 1$
Si $b = 1$, entonces $a^2 - a + 1 = 1$, entonces $a^2 - a = 0$, entonces $a(a -1 ) = 0$ entonces $a = 0$ o $a = 1$. Se verifica, $0 - 0 + 1^2 = 1^2 - (1)(1) + 1^2 = 1$.
Si $b = -1$, entonces $a^2 + a +1 = 1$, entonces $a(a + 1) = 0$, luego $a = 0$ o $a = -1$. Se verifica $0 + 0 + (-1)^2 = (-1)^2 - (-1)(-1) + (-1)^2 = 1$.
Este caso nos deja las parejas $(a,b)$: $(1, 0),(-1, 0), (0,1), (1,1), (0, -1), (-1, -1)$

El caso donde $|b| \geq |a|$ tendríamos de manera similar, las parejas: $(0,1), (0, -1), (1, 0), (1,1), (-1, 0), (-1, -1)$.

Es decir, sólo los elementos $\omega, -\omega, 1, 1 + \omega, -1, -1 - \omega$ tienen norma $1$

Ya vimos que elementos son unidades y de hecho todos los que tienen norma $1$ son unidades $\blacksquare$

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