Problema 2.2.

Problema 2.1: Supongamos que $1\ne 0$ en $A$. Sea $S$ un subconjunto multiplicativo de $A$ que no contiene al $0$. Sea $\mathfrak{p}$ un elemento maximal en el conjunto de ideales de $A$ cuya intersección con $S$ es vacía. Muestra que $\mathfrak{p}$ es un ideal primo.

Demostración: Si $S = \emptyset$ el conjunto de los ideales cuya intersección con $S$ es vacia es el conjunto de todos los ideales, y que $\mathfrak p$ sea un elemento maximal de este conjunto significa justamente que $\mathfrak p$ es un ideal maximal, por lo tanto es un ideal primo.

Si $S \neq \emptyset$

Sean $a, b \in A$ tales que $ab \in P$ demostraremos que $a \in P$ o bien $b \in P$.

Considerémonos el ideal $I_a = \mathfrak p + \langle a \rangle = \langle \mathfrak p \cup \{ a \}\rangle$ y el ideal $I_b = \langle \mathfrak p \cup \{ b \}\rangle$

Claramente $\mathfrak p \subset I_a \wedge \mathfrak p \subset I_b$. Demostraremos que $I_a \cap S = \emptyset \vee I_b \cap S = \emptyset$

Supongamos que $x \in S \cap I_a$, $y \in S \cap I_b$

$x = r_1p_1 + s_1a$ con $r_1, s_2 \in A, p_1 \in \mathfrak p$, por pertenecer a $\langle \mathfrak p \cup \{ a \} \rangle$ y
$y = r_2p_2 + s_2b$ con $r_2, s_2 \in A, p_2 \in \mathfrak p$, por pertenecer a $\langle \mathfrak p \cup \{ b \} \rangle$

Luego $xy = (r_1p_2r_2)p_2 + (r_1s_2b)p_1 + (s_1ar_2)p_2 + (s_1s_2) ab \in \mathfrak p$

Pero como $x, y \in S$ y $S$ es multiplicativo, entonces $xy \in S$ lo cual es una contradicción porque $xy \in \mathfrak p$ y $\mathfrak p \cap S = \emptyset$

Por lo cual $I_a \cap S = \emptyset \vee I_b \cap S = \emptyset$. Sin pérdida de generalidad, digamos que $I_a \cap S = \emptyset$. Sea $s \in S \subset A$ el cual existe porque estamos considerando el caso donde $S \neq \emptyset$, notemos que $s \notin I_a$ por lo cual $I_a$ es un ideal propio de $A$ en el conjunto de ideales cuya intersección con $S$ es vacía , y como el ideal $\mathfrak p \subset I_a$ es un elemento maximal de este conjunto, entonces $\mathfrak p = I_a$, y como $a \in I_a$ entonces $a \in \mathfrak p \blacksquare$

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