Problema 2.16.

Problema 2.16. Sea $E=F(\alpha)$ una extensión algebraica simple de $F$ de grado impar. Demuestra entonces que $F(\alpha^2) = F(\alpha)$.

Demostración: Supongamos que $f$ es el polinomio mínimo de $\alpha$ sobre $F$. Sabemos que $[E:F] = deg(f)$, entonces, el grado de $f$ es impar, puesto que el grado de $F(\alpha)$ sobre $F$ es impar.

Digamos que $f(x) = a_0 + a_1x + ... + a_{2n}x^{2n} +x^{2n + 1}$.

Luego $a_0 + a_1 \alpha + ... + a_{2n}\alpha^{2n} + \alpha^{2n + 1}$.

Entonces
$a_0 + a_2 \alpha^2 + ... + a_{2n}\alpha^{2n} = a_1\alpha + a_3 \alpha^3 + ... + \alpha^{2n + 1}$
$a_0 + a_2 \alpha^2 + ... + a_{2n}\alpha^{2n} = \alpha(a_1 + a_3\alpha^2 + ... + \alpha^{2n})$

Notemos que $a_1 + a_3 \alpha^2 +... + \alpha^{2n}$ no puede ser cero, puesto que $\alpha$ sería cero del polinomio $h(x) = a_1+ a_3x^2+ ... + x^{2n}$ lo cual no puede ocurrir puesto $h$ sería un polinomio que anula a $\alpha$ con grado menor que el polinomio mínimo de $\alpha$.

Entonces $\alpha =\left(a_0 + a_2\alpha^2 + ... + \alpha_{2n}\alpha^{2n} \right)\left(a_1 + a_3 \alpha^2 + ... + a_{2n - 1}\alpha^{2(n - 1)}+ \alpha^{2n}\right)^{-1} \in F(\alpha^2)$. Por lo que $F(\alpha) \subset F(\alpha^2)$

Es claro que $F(\alpha^2) \subset F(\alpha)$. Por lo cual $F(\alpha) = F(\alpha^2) \blacksquare$

Si no se indica lo contrario, el contenido de esta página se ofrece bajo Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License