Problema 2.3.

Problema 2.3. Sea $D$ un entero mayor o igual a 1. Sea $R$ el conjunto de todos los números complejos que son de la forma $a+b\sqrt{-D}$ con $a,b\in \mathbb{Z}$.

  1. Muesta que $R$ es un anillo.
  2. Usa el hecho de que la conjugación compleja $-:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es un isomorfismo de anillos para mostrar que la restricción de la conjugación compleja a $R$ también es un isomorfismo de $R\to R$.
  3. Muestra que si $D\ge 2$ entonces las únicas unidades de $R$ son el $\pm 1$.
  4. Muestra que $3,2+\sqrt{-5},2-2\sqrt{-5}$ son irreducibles en $[\mathbb{Z}\sqrt{-5}]$.

Demostración:

1.- Como $R \subset \mathbb C$ las porpiedades conmutativas y asociativas para ambas operaciones de $R$ se satisfacen, así mismo, la distributividad se hereda.
Veremos la cerradura. Sean $\alpha = a + b\sqrt{- D}, \beta = c + d \sqrt{- D}$

$\alpha + \beta = a +b\sqrt{-D} + c + d\sqrt{-D} = (a + c) + (b + d)\sqrt{-D}$, como $a + c, b + d \in \mathbb Z$ entonces $\alpha + \beta \in R$
$\alpha \beta = (a + b \sqrt{-D})( c + d\sqrt{-D}) = (ac - bdD) + (bc + ad )\sqrt{-D}$, como $ac - bdD, bc + ad \in \mathbb Z$, entonces $\alpha \beta \in R$

2.- Como la conjugación es un isomorfismo de anillos entre $\mathbb C$ y $\mathbb C$, para comprobar que es de hecho un isomorfismo entre $R$ y $R$ basta verificar que es biyectivo.

Sea $a + b\sqrt{-D} \in R$, claramente $a - b\sqrt{-D} \in R$ y $\overline{a - b \sqrt{-D}} = a + b \sqrt{-D}$, por lo tanto la conjugación es suprayectiva.

Ahora, supongamos que $\overline{a + b \sqrt{-D} } = \overline{c + d \sqrt{-D}}$, entonces $a - b \sqrt{-D} = c - d \sqrt{-D}$, de donde $a = c \wedge - b = -d$ o bien $a + b\sqrt{-D} = c + d \sqrt{-D}$. Por lo tanto, la conjugación es inyectiva

Podemos concluir de ahí que la conjugación es biyectiva, por lo tanto es un isomorfismo de anillos entre $R$ y $R$.

3.-Podemos suponernos $- D$ libre de cuadrados, ya hemos demostrado que un elemento $\alpha = a + b\sqrt{-D} \in R$ es unidad si y sólo si $N(\alpha ) = a^2 + Db^2 = 1$

Notemos que si $|b| \geq 1$ tenemos que $a^2 + b^2D \geq 1D + a^2 \geq 1D \geq 2$ por lo cual, si $\alpha = a + b \sqrt{-D}$ es unidad, entonces $b = 0$. Luego, si $\alpha$ es unidad, entonces, $a^2 = 1$ y las soluciones enteras de la ecuación $x^2 = 1$ son $x = \pm 1$.

Por lo tanto, $\alpha$ es unidad si y sólo si $\alpha = \pm 1$

4.-Demostraremos que un elemento $p \in \mathbb Z[\sqrt{-5}]$ con $N(p) = 9$ no puede ser reducible. Supongamos que $p$ es reducible, entonces existen $\alpha = a + b\sqrt{-5}, \beta = c + d\sqrt{-5} \in \mathbb Z[\sqrt{-5}]$ tales que $p = \alpha \beta$ con $\alpha, \beta$ no son unidades.

Entonces $9 = N(p) = N(\alpha)N(\beta)$. Si $N(\alpha) = 9$ tendríamos $N(\beta) = 1$, lo cual no puede ocurrir porque $\beta$ no es unidad. Por lo tanto $N(\alpha) = 3$ es decir $a^2 + 5b^2 = 3$.

Si $|b| \geq 1$ entonces $a^2 + 5b^2 \geq a^2 + 5 \geq 5 > 3$ por lo tanto $b = 0$. Entonces $a^2 = 3$, pero esto en los enteros no tiene solución lo cual nos lleva a una contradicción puesto que $\alpha$ no puede existir. por lo tanto $p$ es irreducible.

Notemos que $N(3) = N(2 + \sqrt{-5}) = N(2 - \sqrt{-5}) = 9$, por lo cual ninguno de los elementos $3, 2 + \sqrt{-5}, 2 - \sqrt{-5}$ es irreducible $\blacksquare$

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