Problema 2.4.

Problema 2.4. Supongamos que $k$ es un campo finito, demuestra que $k[x]$ tiene una infinidad de polinomios irreducibles (no asociados).

Demostración: En general demostramos que $k[x]$ es euclidiano, por lo cual es de ideales principales y por tanto es un dominio de factorización única.

Supongamos que hay una cantidad finita de polinomios irreducibles, digamos $p_1,p_2, ... , p_n$ tomémonos el polinomio $q = p_1p_2 ... p_n + 1$.

notemos que $(p_i, q) = (p_i, p_1p_2...p_n + 1 - p_1p_2...p_n) = (p_i, 1) = k[x]$.

Como $p_i$ es irreducible, entonces no es unidad, por lo tanto $deg(p_i) \geq 1$ luego $deg(p_1p_2...p_n \geq 1)$ por ser $k$ un campo. Y es claro que $deg(p_1p_2 ... p_n + 1) \geq 1$.

Entonces, $q$ no es unidad. Al ser $k [x]$ de factorización única, entonces sabemos que debe haber algún polinomio $p$ irreducible que divida a $q$. Pero como $q$ no comparte ningún factor con ningún $p_i$ entonces $p \neq p_i$ para $i = 1, 2, ... , n$.

Lo cual es una contradicción porque nos supusimos a los $p_i$'s como los únicos polinomios irreducibles.

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