Problema 2.7.

Problema 2.7.Sea $G$ un grupo cíclico finito de orden $n$ y sea $g\in G$ un generador. Muestra que todos los otros generadores son de la forma $g^k$ con $(k,n)=(1)$.

Demostración:

Como $\langle g \rangle = G$ entonces $o(g) = |G| = n$ donde $o(g)$ es el orden de $g$

Si $mcd(k, n) = 1$, veremos que $g^{ki} \neq g^{kj}$ donde para todos los $0 \leq i, j < n$ tales que $i \neq j$

Supongamos que existen $0 \leq i, j < n$ tales que $g^{ki} = g^{kj}$ con $i > j$

Entonces $g^{ki - kj} = g^{k (i - j)}= 1$.

$\Rightarrow n \mid k(i - j)$. Como $mcd(n, k) = 1$
$\Rightarrow n \mid (i - j)$ (no puede ocurrir que $i - j = 0$ pues tomamos $i \geq j$)
$\Rightarrow |n| \leq |(i - j)|$
$\Rightarrow n \leq (i - j)$

Pero como $i < n$ y $0 \leq j < i$ entonces, $i - j < n$

Pero entonces tendríamos $n \leq (i - j) < n$ lo cual es una contradicción.

Es decir el conjunto $\{ 1, g^{k}, g^{2k}, .... , g^{(n - 1)k} \}$ tiene exactamente $n$ elementos, por lo cual como $\langle g^k \rangle \subset G$ y $|\langle g^k \rangle| = |G|$ tenemos que $\langle g^k \rangle = G$.

Veamos ahora que si $mcd(n, s) = d > 1$ entonces $g^s$ no genera a $G$

Podemos ver a $s = d s'$ con $mcd(s', n) = 1$. Veamos que

(1)
\begin{align} (g^s)^{\frac nd} = (g^{ds'})^{\frac nd} = g^{ns'} = 1 \end{align}

$\frac nd$ es claramente entero, y como $d > 1$ entonces $\frac nd < n$.

Luego $g^s$ tiene orden menor que $n$ por lo cual no puede generar a $G \blacksquare$.

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