Problema 2.8.

Problema 2.8. Si $G$ es un grupo abeliano finito y sean $a,b\in G$ elementos de orden $m,n$ respectivamente. Si $(m,n)=\mathbb{Z}$ demuestra que el oden de $ab$ es $mn$.

Veamos que $ab^{mn} = a^{mn}b^{mn} = (1)(1) = 1$.

Ahora si $(ab)^k = 1$ con $k \in \mathbb N$

$\Rightarrow (ab)^{nk} = 1$
$\Rightarrow a^{nk}b^{nk} = 1$
$\Rightarrow b^{nk} = 1$

De ahí obtenemos que $m \mid nk$, pero $mcd(m, n) = 1$, entonces $m \mid k$

Ahálogamente tenemos que $n \mid k$

$\Rightarrow mcm(m,n) \mid k$
$\Rightarrow \frac{mn}{mcd(m,n)} \mid k$
$\Rightarrow mn \mid k$
$\Rightarrow mn \leq k$

Por lo tanto si $(ab)^k = 1$ implica $mn \leq k$. Esto nos dice que $mn$ es el menor entero $r$ tal que $(ab)^r = 1$, en otras palabras, $mn$ es el orden de $ab \blacksquare$

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