Tarea 1

Instrucciones:

Estos ejercicios deben estar listos para el Lunes 6 de Febrero. El primer examen corto será el Lunes 6 de Febrero durante los primeros 15 minutos de la clase (es decir de 12 a 12:15). Recordar que para tener derecho a examen es necesario presentar la solución de estos ejercicios (ya sea de manera impresa o en esta wiki). Crea una página para resolver cada ejercicio.

Problemas

  1. Problema 1.1 Sean $a,b \in \mathbb{Z}$. Muesta que la ecuación $ax+by=c$ tiene solución en los enteros si, y sólo si $c \in (a,b)$.
  2. Problema 1.2 Para $a, k\in \mathbb{Z}$. Muestra que $k\in (a, a+k)$.
  3. Problema 1.3 Sean $a,b \in \mathbb{Z}$ y $P\subset Spec(\mathbb{Z})\setminus \{(0)\}$. Definimos $ord_P: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}\cup \left\{ \infty \right\}$ tal que $ord_P(a) = n$ si, y sólo si $a\in P^n$ pero $a\notin P^{n+1}$, notar que entonces $ord_P(0) = \infty$ . Demuestra que $ord_P(a+b) \ge \min(ord_P(a), ord_P(b))$ con igualdad si $ord_P(a) \ne ord_P(b)$.
  4. Problema 1.4 Resuelve los ejercicios anteriores cambiando al anillo $\mathbb{Z}$ por el anillo de polinomios $K[x]$ para $K$ un campo.
  5. Problema 1.5 Supogamos que $a^2+b^2=c^2$ con $a,b.c\in \mathbb{Z}$ con $(a,b)=(a,c) = (b,c) = \mathbb{Z}$. Demuestra entonces que existen enteros $u,v$ tales que $(u,v)=\mathbb{Z}$ y $c-b = 2u^2$, $c+b = 2v^2$ (No hay pérdida de generalidad en suponer que $b,c$ son impares y que $a$ es par. En consecuencia deduce que $a=2uv, b= v^2-u^2$, y $c = u^2+ v^2$. Conversamente muestra que si $u,v$ son dados, entonces los tres números $a,b,c$ dados por las fórmulas anteriores satisfacen que $a^2+b^2 = c^2$.
  6. Problema 1.6 Muestra que 2 es divisible por $(1+ i)^2$ en $\mathbb{Z}[i]$.
  7. Problema 1.7 Para $\alpha= a + bi \in \mathbb{Z}[i]$, definimos $N(\alpha) = a^2+b^2$. Demuestra que $N(\alpha\beta) = N(\alpha)N(\beta)$ y deduce entonces que $(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac-bd)^2 + (ad+bc)^2$.
  8. Problema 1.8 Muestra que $\alpha\in \mathbb{Z}[i]$ es una unidad si, y sólo si $N(\alpha) = 1$. De esto deduce que las únicas unidades de los enteros Gaussianos son $\pm 1, \pm i$.
  9. Problema 1.9 Muestra que $3$ es divisible por $(1-\omega)^2 \in \mathbb{Z}[\omega]$ para $\omega = e^{2\pi i /3}$. Definimos $N(\alpha) = a^2-ab+b^2$ para $\alpha= a + b \omega \in \mathbb{Z}[\omega].$ Muestra que $\alpha \in \mathbb{Z}[\omega]^*$ si, y sólo si $N(\alpha) = 1$. Encuentra a todas las unidades de $\mathbb{Z}[\omega]$.
  10. Problema 1.10 Supongamos que $\pi \in \mathbb{Z}[i]$ y que $N(\pi) = p$ para un número primo $p\in \mathbb{Z}$. Muestra que $\pi$ es primo en $\mathbb{Z}[i]$. Muestra y da un resultado análogo para los anillos $\mathbb{Z}[\omega]$ y $\mathbb{Z}[\sqrt{-2}]$.
  11. Problema 1.11 Sea $p\in \mathbb{Z}$ un número primo. Denotemos por $\mathbb{Z}_{(p)}$ al subconjunto de $\mathbb{Q}$ de números de la forma $\frac ab$ tal que $ord_p(b)=0$. Muestra que $\mathbb{Z}_{(p)}$ es un subanillo de $\mathbb{Q}$. Determina al conjunto de unidades de $\mathbb{Z}_{(p)}$. Determina qué elementos son primos. Demuestra que si $\frac ab$ no es unidad, entonces $\frac ab +1$ es unidad en este anillo.
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