Tarea 2

Fecha de Entreaga: Miércoles 1 de Marzo 2017.

Sea $A$ un anillo conmutativo.

Definición:
Un subconjunto $S\subset A$ es multiplicativo, si para cualesquiera dos elementos $a,b\in S$ entonces $ab\in S$.

  1. [x]Completar los detalles en las notas.
  2. [|/]Problema 2.1: Supongamos que $1\ne 0$ en $A$. Sea $S$ un subconjunto multiplicativo de $A$ que no contiene al $0$. Sea $\mathfrak{p}$ un elemento maximal en el conjunto de ideales de $A$ cuya intersección con $S$ es vacía. Muestra que $\mathfrak{p}$ es un ideal primo.
  3. []Problema 2.2: Sea $p\ne 2$ un número primo impar y sea $A$ el anillo $\mathbb{Z}/p^r \mathbb{Z}$ con $r$ un entero mayor o igual a 1. Sea $G$ el grupo de las unidades de $A$. Muestra que $G$ es un grupo cíclico.
  4. []Problema 2.3: Sea $D$ un entero mayor o igual a 1. Sea $R$ el conjunto de todos los números complejos que son de la forma $a+b\sqrt{-D}$ con $a,b\in \mathbb{Z}$.
        1. []Muesta que $R$ es un anillo.
        2. []Usa el hecho de que la conjugación compleja $-:\mathbb{C} \to \mathbb{C}$ es un isomorfismo de anillos para mostrar que la restricción de la conjugación compleja a $R$ también es un isomorfismo de $R\to R$.
        3. []Muestra que si $D\ge 2$ entonces las únicas unidades de $R$ son el $\pm 1$.
        4. Muestra que $3,2+\sqrt{-5},2-2\sqrt{-5}$ son irreducibles en $[\mathbb{Z}\sqrt{-5}]$.
  5. []Problema 2.4: Supongamos que $k$ es un campo finito, demuestra que $k[x]$ tiene una infinidad de polinomios irreducibles (no asociados).
  6. []Problema 2.5: Sea $a\in \mathbb{Z}$ y sean $m>n$ naturales. Muestra que e el ideal $(a^{2^n}+1,a^{2^m}+1)$ es el ideal $(1)$ o bién el ideal $(2)$ dependiendo de que $a$ sea impar o par. Usa esto para demostrar que hay una infinidad de primos en $\mathbb{Z}$.
  7. []Problema 2.6: Para un número racional $r\in \mathbb{Q}$ sea $[r]$ el entero más grande que es menor o igual que $r$. Prueba que $\text{ord}_p(n!) = [n/p]+[n/p^2] + \ldots$. De esto deduce que $\text{ord}_p(n!) \leq \frac{n}{p-1}$ y que $\sqrt[n]{n!} \leq \prod_{p\mid n}p^{1/(p-1)}$. Usa estos resultados para demostrar que hay una infinidad de primos (ayuda: considera que $(n!)^2\ge n^n$).
  8. []Problema 2.7: Sea $G$ un grupo cíclico finito de orden $n$ y sea $g\in G$ un generador. Muestra que todos los otros generadores son de la forma $g^k$ con $(k,n)=(1)$.
  9. []Problema 2.8: Si $G$ es un grupo abeliano finito y sean $a,b\in G$ elementos de orden $m,n$ respectivamente. Si $(m,n)=\mathbb{Z}$ demuestra que el oden de $ab$ es $mn$.
  10. []Problema 2.9: Si $K$ es un campo y si $G\subset K^*$ es un subgrupo finito del grupo multiplicativo de $K$ entonces $G$ es cíclico.
  11. []Pproblema 2.10: Muestra que $\sqrt2+\sqrt3$ es un entero algebraico. Es decir que es el cero de un polinomio mónico con coeficientes en $\mathbb{Z}$.
  12. []Pproblema 2.11: Sea $\alpha$ un número algebraico sobre $\mathbb{Q}$. Demuestra que existe un natural $n$, tal que $n \alpha$ es un entero algebraico.
  13. []Pproblema 2.12: Sea $\alpha\in \mathbb{C}$ algebraico sobre $\mathbb{Q}$ con polinomio mínimo sobre $\mathbb{Q}$ $f(x)$. Demuestra que $f$ no tiene raíces múltiples.
  14. []Pproblema 2.13: Muestra que el polinomio mínimo de $\sqrt[3]2$ es $x^3-2$.
  15. []Problema 2.14: Muestra que existen números complejos que son algebraicos sobre $\mathbb{Q}$ con grado arbitrario.
  16. []Problema 2.15: Sea $E=\mathbb{Q}(\alpha)$ donde $\alpha^3+\alpha^2+\alpha+2 = 0$. Expresa a $(\alpha^2+\alpha+1)(\alpha^2+\alpha)$ y a $(\alpha-1)^{-1}$ en la forma $a \alpha^2+ b\alpha+c$ con $a,b,c \in \mathbb{C}$.
  17. []Problema 2.16: Sea $E=F(\alpha)$ una extensión algebraica simple de $F$ de grado impar. Demuestra entonces que $F(\alpha^2) = F(\alpha)$.
  18. []Pproblema 2.17: Encuentra un complejo $\theta\in \mathbb{C}$ tal que $\mathbb{Q}(\sqrt 2, \sqrt 3, i) = \mathbb{Q}(\theta)$. Justifica la igualdad.

…continuará.

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