Tarea 4

Fecha de entrega y examen el 8 de mayo.

  1. Considera a $\mathbb{Z}$ como un $\mathbb{Z}$-módulo en donde la acción de $\mathbb{Z}$ es la multiplicación usual. Determina a todos los $\mathbb{Z}$-módulos de $\mathbb{Z}$.
  2. Sea $I_1 \subset I_2\subset I_3\subset \ldots$ una sucesión creciente de ideles en un dominio entero $D$. Demuestra que su union es un ideal de $D$.
  3. Demuestra que $\frac{1}{3} (1+10^{1/3} + 10^{2/3})$ es un entero algebraico.
  4. Expresa al número algebraico $\left( \frac{1+\sqrt 2}{9} \right)^{1/3} + \left( \frac{1-\sqrt 2}{9} \right)^{1/3}$ como cociente de un entero algebraico y un entero ordinario.
  5. Demuestra que los dominios de ideales pricipales son enteramente cerrados.
  6. Sea $m$ un entero libre de cuadrados que es congruente con 1 módulo 4. Demuestra que el dominio $D= \mathbb{Q}(\sqrt m)$ no es enteramente cerrado.
  7. Demuestra que la cerradura entera de $\mathbb{Q}(\sqrt 2)$ sobre $\mathbb{Z}$ es $\mathbb{Z}(\sqrt 2)$.
  8. Sea $A\subset B$ anillos. Denotamos por $A^B$ a la cerradura entera de $A$ en $B$. Demuestra que si $A\subset B \subset C$ son anillos, entonces $A^B \subset A^C \subset B^C$.
  9. Demuestra que el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt 2, \sqrt 5]$ no es enteramente cerrado en su campo de fracciones. Ayuda: considerar el elemento $\alpha= \left( \frac{1+\sqrt 5}{2} \right)^2$.
  10. Encuentra al polinómio mínimo de $\left( \frac{1+i}{\sqrt 2} \right)$ sobre el campo $\mathbb{Q}(i)$.
  11. Sea $\omega= e^{i \pi/5}$. Muestra que $\sqrt 5\in \mathbb{Q}(\omega)$ y escríbelo como suma de elementos de la base $1, \omega, \omega^2, \omega^3, \omega^4$.
  12. Determina los conjugados de $12^{1/5}+ 54^{1/5}-144^{1/5}+648^{1/5}$ sobre $\mathbb{Q}$.
  13. Sea $m\in \mathbb{Z}$ libre de cuadrados y $m\equiv 1 \pmod 4$. Demuestra que su cerradura entera es $\mathbb{Z}\left[\frac{1+\sqrt m}{2}\right]$.
  14. sea $K$ una extensión de $\mathbb{Q}$ de grado $2$. Demuesta que $K= \mathbb{Q}(\sqrt d)$ con $d$ un entero libre de cuadrados.
  15. Sea $K = \mathbb{Q}(\sqrt d)$ con $d$ un entero libre de cuadrados. Sea $\mathcal{O_K}$ su cerradura entera. Demuestra que:
    1. Si $d \equiv 2$ o $d \equiv 3$ $\pmod 4$, entonces $\mathcal{O}_K = \mathbb{Z}[\sqrt d]$
    2. Si $d \equiv 1 \mod 4$ entonces $\mathcal{O}_K$ está formado por los elementos de la forma $\frac12 (u + v\sqrt d)$ con $u,v \in \mathbb{Z}$ y $u\equiv v \pmod 2$.
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