Teorema 2.0

Teorema: Si $F$ es un campo finito o si $F$ tiene característica cero, entonces toda extensión algebraica $E/F$ finitamente generada es simple, es decir, $E$ es finitamente generada por un sólo elemento: $E = F(\alpha)$.

Demostración:
El caso $F$ de característica positiva es inmediato (ejercicio). Supongamos pues que la característica de $F$ es cero.

El problema se reduce fácilmente a demostrar que si $F(\alpha,\beta)$ es una extensión simple de $F$, es decir que para todos $\alpha, \beta$ en alguna extensión de $F$, se tiene que $F(\alpha,\beta) = F(\theta)$ para algún $\theta$ en $F(\alpha,\beta)$.

De ser cierto el resultado entonces $\theta = \alpha+c \beta$ para algún $c\in F$, así que tenemos que buscar candidatos para $\theta$ que sean de esta forma.

Sea $p_\alpha, p_\gamma$ los polinomios mínimos de $\alpha, \beta$ respectivamente sobre $F$. Sean $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_n$ y $\beta_1, \beta_2, \ldots,\beta_m$ sus raíces tales que $\alpha= \alpha_1, \beta= \beta_1$. Entonces existe un elemento $c\in F$ tal que $\alpha+\beta c \ne \alpha_i + c \beta_j$ para todos $i,j\ne 1,1$. Sea $\theta= \alpha+ \beta c$. La afirmación es que $F(\theta) = F(\alpha,\beta)$. En efecto la contención $F(\theta) \subset F(\alpha,\beta)$ es trivial. Para demostrar la otra contención basta demostrar que $\beta\in F(\theta)$.

Consideremos el polinomio $f(x) = p_\alpha(\theta-c x) \in F(\theta)[x]$ este polinomio tiene a $\beta$ como raíz pero también $p_\beta$ tiene a $\beta$ como raíz, así que el polinomio $h\in F(\theta)[x]$ tal que $(h) = (f, p_\beta)$ tiene a $\beta$ como raíz y además esta es la única raíz pues de tener otra raíz esta tendría que ser una de las $\beta_j$ pero entonces como $f(\beta_j) = 0$ entonces $\theta-c \beta_j = \alpha_k$ pero por la elección de $c$ esto es imposible. Así que $h$ tiene exactamente una raíz y por lo tanto $h = (x-\beta)\in F(\theta)[x]$ así que $\beta\in F(\theta)$ como queríamos demostrar.
$\blacksquare$
revisión de página: 10, última edición: 17 Feb 2017, 18:10 (12 days atrás)

Si no se indica lo contrario, el contenido de esta página se ofrece bajo Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 License